Konjugatregeln omvänd

Hej! Ännu ett rpblem där jag inte förstår hur jag ska använda konjugatregeln.

Vilket värde har produkten?

$(1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) (1 - \frac{1}{16}) . . . (1 - \frac{1}{400})$

jag såg ganska snabbt att det finns ett mönster i nämnaren, det är nummer upphöjda i 2. tex 4= 2^2 9=3^2 etc

uttrycket för mönster blir därför $1 - ({(n + 1)}^{- 2}) = 1 - (\frac{1}{{(n + 1)}^{2}})$

men det kan jag ju. inte använda för att få produkten.

Ledtråden säger att man ska

Visa spoiler

skriva. varje parantes som två med hjälp av konjugatregeln

Detta förstår jag inte hur jag ska göra, eller hur det ska hjälpa.

Tack i förväg för hjälpen!

Eftersom 1/4 = (1/2)² så kan du skriva försra faktorn som (1²-(1/2)²), som med gjälp av konjugatregeln kan skrivas (1+1/2)(1-1/2) = (3/2)(1/2).

Gör på samma sätt med de 3 följande och de 2 sista faktorerna.

Ser du något mönster?

första= $\frac{3}{4}$

$(1 - \frac{1}{9}) = (1^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}) = (1 + \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$

------

$(1 - \frac{1}{16}) = (1^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}) = (1 + \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16}$

sista faktoren:

$(1 - \frac{1}{400}) = (1^{2} - {(\frac{1}{20})}^{2}) = (1 - \frac{1}{20}) (1 + \frac{1}{20}) = \frac{19}{20} \times \frac{21}{20} = \frac{399}{400}$

alla produkter är $\frac{x - 1}{x}$ (x= det originella numret under 1, tex 4 för den första faktorn)

det finns alltså 400 sådana tal.

så det blir $\frac{n^{2} - 1}{{(n + 1)}^{2}}$ om n är numret på termen.

men alltså hur multiplicerar jag alla dessa talen på ett smidigt sätt? n ökar med 1 för varje tal, men lycka inte lista ut hur jag kan utnyttja det.

Multiplicera inte ihop faktorerna helt.

Du får då att produkten blir

$(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2})\cdot (\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3})\cdot (\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{4})\cdot$ ... $\cdot (\frac{20}{19}\cdot\frac{18}{19})\cdot (\frac{21}{20}\cdot\frac{19}{20})$

Ser du att du kan förkorta en massa faktorer?

Yngve skrev:
Multiplicera inte ihop faktorerna helt.

Du får då att produkten blir

$(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2})\cdot (\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3})\cdot (\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{4})\cdot$ ... $\cdot (\frac{20}{19}\cdot\frac{18}{19})\cdot (\frac{21}{20}\cdot\frac{19}{20})$

Ser du att du kan förkorta en massa faktorer?

aha,

$\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1 \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1 \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$

antar att ettorna "försvinner" då det blir som $1^{10}$ (10 st 1 gånger varandra), så kvar blir 1/2 och 21/20

$\frac{1}{2} * \frac{21}{20} = \frac{21}{40}$

Just så. Bra!

Svara

Visa senaste svar