konjugatklasser

Hej

jag sitter men en uppgift som handlar om konjugatklasser och har svårt att komma vidare, uppgiften är:

a) Hur många konjugatklasser finns det i $S_{4}$ ?

b) Ange de permutationer som ingår i respektive konjugatklass

c) Härled klassekvationen för $S_{4}$

Som jag förstår så tillhör två permutationer $σ_{1}, σ_{2} \in S_{n}$ samma konjugatklass om och endast om det finns ett $ρ \in S_{n}$ som uppfyller $σ_{1} = ρ σ_{2} ρ^{- 1}$

svaret i a ska bli 5 men jag vet inte hur man ska komma fram till det.

Antalet konjugatklasser som finns är antalet partitioner det finns av 4.

Eftersom du jobbar med en så snäll grupp med så få element kan du alltid testa dig fram med brute force om du inte kommer på något smart sätt att lösa uppgiften.

Börja att undersöka vilken konjugatklass olika element ingår i:

Vilka element ingår i samman konjugatklass som e?
Vilka element ingår i samma konjugatklass som (12)?
Vilka element ingår i samma konjugatklass om (13)? (23)?
Vilka element ingår i samma konjugatklass som (123)?
Vilka element ingår i samma konjugatklass som (12)(34)?
osv. osv. osv.

Ser du kanske något mönster?

Även om du inte ser något mönster kommer du ganska snabbt ha delat in alla de 24 elementen i S4 i konjugatklasser, och då har du hittat samtliga konjugatklasser (eftersom konjugatklasser är alltid disjunkta). Nu är det bara att räkna efter hur många klasser du hittade, och hur många element varje klass innehåller.

jag har lite svårt att greppa uppgiften. Det jag får fram är att vad gäller $S_{4}$ så om vi numrerar hörnen 1,2,3,4 kan grupper genereras av rotationen (1432), speglingen (12)(34) och omorienteringen (243), men det är vad jag läst jag är inte fullt med på hur man vet att det stämmer eller hur man ska resonera för att komma fram till det.

samma konjugatklass som det neutrala elementet är väl ingen förutom $ε$ själv men resten har jag inte riktigt greppat än.

$S_4$ är inte kopplat till dihedral group direkt. Det handlar alltså inte om rotationer och speglingar osv. Utan $S_4$ kan du se som mängden av alla permutationer på $1, 2, 3, 4$ . Det finns alltså inga hörn att rotera.

okej men vad är det man egentligen är ute efter då, jag ser i svaret att dom har delat in klasserna tex neutrala elementet för sig och sedan 2-cykler sedan 3-cykler och 4-cykler samt 2*2cykler

Ja, det blir att man delar upp dem så. Konjugatklasserna är alltså ekvivalensklasserna enligt ekvivalensrelationen

$\sigma_1 ~ \sigma_2$ omm det existerar ett $\rho$ sådant att $\sigma_1 = \rho \sigma_2 \rho^{-1}$ .

Du kan därför exempelvis ta ett element, exempelvis $\epsilon$ och gå igenom alla $\rho \in S_4$ och se vad du får om du beräknar $\rho \epsilon \rho^{-1}$ . Sedan går du igenom nästa element, som oggih beskrev.

Jag skulle gissa på att det i din litteratur också finns teori som gör att dessa beräkningar underlättas en hel del.

Svara

Visa senaste svar