1 svar
147 visningar
Stoffer behöver inte mer hjälp
Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 4 sep 2017 19:45

Kongruenser - bevis

Hej!

Uppgift:

a) Låt a vara ett jämnt heltal. Bevisa att a20 mod 4.

b) Låt a vara ett udda heltal. Bevisa att a21 mod 8. Härled att a21 mod 4.

c) Bevisa att om n är ett positivt heltal sådan att n3 mod 4 så kan inte n skrivas som summan av två heltal i kvadrat (na2+b2,  a, b).

d) Bevisa eller motbevisa det motsatta förhållandet till påståendet i c) ovan.

Lösning:

a) a20 mod 4 4|a2

Eftersom a är jämn så är a=2xa2=4x2 för något heltal x. Så

4|4x24|a2a20 mod 4.

b) a21 mod 8 8|a2-1

Eftersom a är udda så är a+1=2xa=2x-1a2=(2x-1)2=4x2-4x+1 för något heltal x.

a2-1=4(x2-x)4|a2-1a21 mod 4. Detta är samma sak som att skriva

a2=4k0+1 för något heltal k0. Låt k0=2k1 där k1 är ett heltal. Då är a2=4k0+1=8k1+1a21 mod 8.

c) Här får jag inte till det. I "facit" står en ledtråd som lyder:

Antag att n kan skrivas som summan av kvadraten av två heltal och härled en motsägelse genom att titta på ekvationen modulo 4 och genom att använda delarna a) och b).

d) -

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 4 sep 2017 21:47

Det ser lite konstigt ut på b), jag vet inte riktigt hur du motiverar att k0=2k1 k_0 = 2k_1 ? Jag skulle sen också bara försöka hålla mig till modulär aritmetik.

a) a = 2n för något heltal n, vilket innebär att a2(2n)24n20 (mod 4).

b) a = 2n + 1 för något heltal n, vilket innebär att a2(2n + 1)24n2+4n+14n(n + 1) + 1 (mod 8)

Nu måste n(n + 1) vara jämnt, därför är 4n(n + 1) delbart med 8, vilket alltså ger att

a24n(n + 1)+ 1  1 (mod 8)

Eftersom ^2 = 8k + 1 så får man omedelbart att a^2 = 1 (mod 4). En fördel med att se det i modulär aritmetik är att man kan göra beviset så här också

121 (mod 8)321 (mod 8)521 (mod 8)721 (mod 8)

Vilket är tillräckligt för att visa att a^2 = 1 (mod 8) då a är udda.

 

c) Säg att n=a2+b2 n = a^2 + b^2 vilka värden kan då n(mod4) n (mod 4) ha? Från a) och b) så får du vad a2 a^2 och b2 b^2 kan anta för värden mod 4, så gå igenom alla de tänkbara värdena och se vad n får för värden mod 4.

d) Skulle du kunna formulera det som det frågas efter i egna ord?

Svara
Close