Kongruenser - bevis
Hej!
Uppgift:
a) Låt vara ett jämnt heltal. Bevisa att .
b) Låt vara ett udda heltal. Bevisa att . Härled att .
c) Bevisa att om är ett positivt heltal sådan att så kan inte skrivas som summan av två heltal i kvadrat ().
d) Bevisa eller motbevisa det motsatta förhållandet till påståendet i c) ovan.
Lösning:
a)
Eftersom är jämn så är för något heltal . Så
.
b)
Eftersom är udda så är för något heltal .
. Detta är samma sak som att skriva
för något heltal . Låt där är ett heltal. Då är .
c) Här får jag inte till det. I "facit" står en ledtråd som lyder:
Antag att kan skrivas som summan av kvadraten av två heltal och härled en motsägelse genom att titta på ekvationen modulo 4 och genom att använda delarna a) och b).
d) -
Det ser lite konstigt ut på b), jag vet inte riktigt hur du motiverar att ? Jag skulle sen också bara försöka hålla mig till modulär aritmetik.
a) a = 2n för något heltal n, vilket innebär att .
b) a = 2n + 1 för något heltal n, vilket innebär att
Nu måste n(n + 1) vara jämnt, därför är 4n(n + 1) delbart med 8, vilket alltså ger att
Eftersom ^2 = 8k + 1 så får man omedelbart att a^2 = 1 (mod 4). En fördel med att se det i modulär aritmetik är att man kan göra beviset så här också
Vilket är tillräckligt för att visa att a^2 = 1 (mod 8) då a är udda.
c) Säg att vilka värden kan då ha? Från a) och b) så får du vad och kan anta för värden mod 4, så gå igenom alla de tänkbara värdena och se vad n får för värden mod 4.
d) Skulle du kunna formulera det som det frågas efter i egna ord?