Kongruenser
Jag undrar om det sätt jag löst denna uppgift på är en "bra" lösningsmetod.
Jag löste uppgiften genom att helt enkelt testa siffrorna 1 till 4 för att se vilka som ,i kubik, var kongruenta med 2 (mod 5). Det tar inte lång tid att konstatera att bara 3 uppfyller kravet och att därför alla andra är lösningar till kongruensen.
Finns det någon metod där man inte testar sig fram? Säg att man sökte motsvarande lösningar i exempelvis (mod 134). Då blir det ju mycket att testa om man jobbar med den metoden.
Nej, jag har inget svar. Men jag har funderat en stund. Och jag bara spekulerar, men jag tror inte att det finns någon enkel kungsväg i fallet modulo 134.
Läs på egen risk:
Några genvägar kan man kanske hitta. Säg att m3 = 132 = –2 (mod 134)
I så fall blir väl (134–m)3 = (–m)3 = –m3 = +2 (mod 134)
Det halverar räknearbetet, för vi behöver bara gå till 67 när vi kollar, efter 67 får vi samma resultat i spegelvänd ordning och med ombytt tecken.
Man kan experimentera med mod (10) eftersom det är så lätt att göra i huvudet:
1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 7
4^3 = 4
5^3 = 5
6^3 = 6
7^3 = 3
8^3 = 2
9^3 = 9
Vi ser att
1^3 = –9^3
2^3 = –8^3
3^3 = –7^3
4^3 = –6^3
5^3 = –5^3
Provar vi kvadrater (mod 10) har vi
1^2 = 9^2
2^2 = 8^2
osv, samma för m4, m6, …, m2n.
Så min okvalificerade gissning är att det blir svårt att hitta en avgörande förenkling i fallet (mod 134)
Och tillåts jag spekulera ännu vildare kan det vara ett liknande fenomen som gör att många system med passwords fungerar. Banken räknar mod 134 du får password 59.
593 = 91 om jag räknar rätt.
Nu vet du 59 och banken vet 91. Du matar in 59 som bara du vet. Datorn kollar och ser att det stämmer med 91. Men det är jättesvårt för en banktjänsteman att ”gå baklänges” och lista ut att 91 kommer från 59.
I verkligheten är det förstås ofantliga tal det handlar om, mod 134 kan en nitisk hackare kartlägga.
Jag är medveten om att en kunnig kryptolog eller talteoretiker skulle grina surt åt mina förenklingar, min förhoppning är att sådana är sällsynta på detta forum. Tag allt jag skrivit med två nypor salt.
Intressant, och tack för svaret!
Jag hittade det här. Be inte mig förklara något, för jag förstår nästan ingenting. https://eprint.iacr.org/2013/024.pdf
Laguna skrev:Jag hittade det här. Be inte mig förklara något, för jag förstår nästan ingenting. https://eprint.iacr.org/2013/024.pdf
Aahh, glasklart :)
Laguna skrev:Jag hittade det här. Be inte mig förklara något, för jag förstår nästan ingenting. https://eprint.iacr.org/2013/024.pdf
Spännande! Antar jag.. långt över min nivå ;)
Vågar inte uttala mig om din nivå, men detta kräver nog god förtrogenhet med gruppteori, samt teorin om ringar, kroppar, kvotgrupper och andra höga materier.
Det ger dock ett svar på din första fråga om (mod 134). Ja, det finns metoder att hantera sådant. Men inga lätta som man möter i den inledande algebrakursen på universitetet.
