5 svar
117 visningar
Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 5 sep 2017 15:31

Kongruensbevis - tillämpning av Wilson's Sats?

Hej!

Uppgift:

Låt p vara ett udda primtal. Bevisa att om p3 mod 4 så är p-12! en lösning till den kvadratiska kongruensen x21 mod p.

Lösning:

Här står det still. Jag tänker att jag på något vis kanske kan utnyttja att (p-1)!-1 mod p.

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 5 sep 2017 15:46

Använd att det gäller att

(p - 1)! 1·2p-12·p - 12+1(p - 1) 1·2p-12·-p-12(-2)·(-1) (mod p)

Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 13:43
Stokastisk skrev :

Använd att det gäller att

(p - 1)! 1·2p-12·p - 12+1(p - 1) 1·2p-12·-p-12(-2)·(-1) (mod p)

Hur ser man att det gäller?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 13:56

Det gäller att

p-12+1p-12+1-p-p-12(mod p)

Likadant för de andra faktorerna, att man subtraherar p från dem.

Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 17:14

(p-1)!1*2**p-12*p-12+1**(p-1)1*2**p-12*-p-12**(-2)*(-1)(-12)*(-22)**-p-122-p-12!2-1 (mod p)p-12!21 mod p

Men här sätter jag inga villkor för att detta ska gälla. Men av näst sista raden ovan så ser vi att 

(-12)*(-22)**-p-122-1 mod p

och därmed måste p-12 vara udda och då får vi att 

p1 mod 4

vilket däremot inte framgår i mina första uträkningar. Så jag måste tänka fel någonstans?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 17:39

Jag vet inte riktigt vad du menar, men du har ju att

-12-p-122(-1)(p - 1)/2·12·22p-122 (mod p)

Så vi får att exponenten på -1 måste vara udda för att det tillslut ska bli att produkten är kongruent med -1. Eftersom p = 3 mod 4 så får man ju att (p - 1)/2 är ett udda heltal.

Svara
Close