Kongruensbevis - tillämpning av Wilson's Sats?

Använd att det gäller att

$$\begin{gathered} (p - 1)!\hspace{0.17em}\equiv 1·2\cdots \left(\frac{p-1}{2}\right)·\left(\frac{p - 1}{2}+1\right)\cdots (p - 1) \equiv \\ 1·2\cdots \frac{p-1}{2}·\left(-\frac{p-1}{2}\right)\cdots (-2)·(-1) (mod p) \end{gathered}$$

Stokastisk skrev :

Använd att det gäller att

$$\begin{gathered} (p - 1)!\hspace{0.17em}\equiv 1·2\cdots \left(\frac{p-1}{2}\right)·\left(\frac{p - 1}{2}+1\right)\cdots (p - 1) \equiv \\ 1·2\cdots \frac{p-1}{2}·\left(-\frac{p-1}{2}\right)\cdots (-2)·(-1) (mod p) \end{gathered}$$

Hur ser man att det gäller?

Det gäller att

$\frac{p-1}{2}+1\equiv \frac{{\displaystyle p-1}}{{\displaystyle 2}}+1-p\equiv -\frac{p-1}{2}(mod p)$

Likadant för de andra faktorerna, att man subtraherar p från dem.

$$\begin{gathered} (p-1)!\equiv 1*2*\cdots *\left(\frac{p-1}{2}\right)*\left(\frac{p-1}{2}+1\right)*\cdots *(p-1)\equiv \\ \equiv 1*2*\cdots *\left(\frac{p-1}{2}\right)*\left(-\frac{p-1}{2}\right)*\cdots *(-2)*(-1)\equiv \\ \equiv (-1^2)*(-2^2)*\cdots *\left(-{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2\right)\equiv \\ \equiv -{\left(\frac{p-1}{2}!\right)}^2\equiv -1 (mod p)\Rightarrow {\left(\frac{p-1}{2}!\right)}^2\equiv 1 mod p \end{gathered}$$

Men här sätter jag inga villkor för att detta ska gälla. Men av näst sista raden ovan så ser vi att 

$(-1^2)*(-2^2)*\cdots *\left(-{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2\right)\equiv -1 mod p$

och därmed måste $\frac{p-1}{2}$ vara udda och då får vi att 

$p\not\equiv 1 mod 4$

vilket däremot inte framgår i mina första uträkningar. Så jag måste tänka fel någonstans?

Jag vet inte riktigt vad du menar, men du har ju att

$\left(-1^2\right)\cdots \left(-{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2\right)\equiv (-1{)}^{(p - 1)/2}·1^2·2^2\cdots {\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2 (mod p)$

Så vi får att exponenten på -1 måste vara udda för att det tillslut ska bli att produkten är kongruent med -1. Eftersom p = 3 mod 4 så får man ju att (p - 1)/2 är ett udda heltal.