Kongruens och komplexa tal

"i kan väl aldrig vara detsamma som i upphöjt med något förutom, om i är upphöjt i 1?"

Jo, det kan det. Till exempel $i^5 = (i^4) \cdot i = (i^2 \cdot i^2) \cdot i = (-1 \cdot -1) \cdot i = 1 \cdot i$

Att $n \equiv_4 1$ innebär att $n = 4 \cdot k + 1$ för något $k \in \mathbb{Z}$

Testa att använda detta uttryck för $n$.

Åh så smart! Jag förstår men hade inte kommit på det själv.

Jag provar med $i^9=i$ och skriver VL $(i^2·i^2·i^2·i^2)·i = (-i·-i)(-i·-i)·i = 1·1·i =i$

Alltså är VL och HL lika om man kan skriva ett jämnt antal $i^2$ inom en parentes och sen multiplicera med i.

Om vi nu säger att n = 9 så får vi att $9{\equiv }_{4}1$   

och   4$·$8 +1${\equiv }_{4}1$  enligt det du skrev att 4$·$k+1${\equiv }_{4}1$

Det funkar om n=13 också! 

Jag drar slutsatsen att påståendet i början av denna tråd är sant.

:) Det verkar som du är med på principen! Vill bara förtydliga lite.

När du provar med $i^9$ och skriver om det som $(i^2 \cdot i^2 \cdot i^2 \cdot i^2) \cdot i$, så säger du att det är lika med $(-i \cdot -i)(-i \cdot -i) \cdot i$. Det är visserligen sant, men du bör skriva om det som $(-1 \cdot -1)(-1 \cdot -1) \cdot i = 1 \cdot 1 \cdot i = i$. Kom ihåg att $i^2 = -1$!

För att visa att det stämmer, utan att behöva prova alla heltal, så kan man skriva

$n \equiv_4 1 \Leftrightarrow n = 4 \cdot k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$

$i^n = i^{4\cdot k + 1} = i^{4k} \cdot i = (i^4)^k \cdot i = (i^2 \cdot i^2)^k \cdot i = (-1 \cdot -1)^k \cdot i = 1^k \cdot i = 1 \cdot i = i$

Det var ett "slarvfel" kan man säga att jag skrev -i i stället för -1. Jag tänkte -1.

Så bra du skrev i slutet, för att visa att det stämmer utan att prova alla heltal.

Precis det undrade jag över.

TACK!