Kongruens igen

Hur menar du att det blir kaos? 13 + a är kongruenta med 3n + 2 (mod 3). Sätt in n = 0 (exempelvis), och få får vi att 13 + a är kongruent med 2, (mod 3). Ett exempel är a = 1. 

13+ a = 0+2

hur kan a vara 1? :O

Vad har 14 ( = 13+1) för rest när det delas med 3?

Resten är 2 men hur får ni att det blir 13 + 1, att a blir 1? 

13 + a är kongruenta med 3n + 2 (mod 3) detta förstår jag inte 

Det var Smutstvätts förslag. Om vi sätter in a = 1 i formeln $13+a\equiv 2 (mod 3)$ så stämmer det. Det stämmer om a = 4 eller 7 eller 10 eller 13 eller vilket tal som helst som kan skrivas på formen a = 3n + 1 också.

Du skulle kunna förenkla $13 + a \equiv 2 (mod 3)$ till $1 + a \equiv 2 (mod 3)$ eftersom $13 \equiv 1 (mod 3)$.

Nu förstår jag inte alls faktiskt och därför tänker jag skriva ett lösningsförslag jag följer för en liknande uppgift och peka ut mina svårigheter:

Bestäm det minsta naturliga tal a som gör att 43 + a $\equiv$3 mod 6

43/ 6 = 7 rest 1, dvs 43 $\equiv 1 mod 6$

Varför dividerar man 43/6, varför gör man inte 3/6 för att få ut resten där? Och varför blir det 43 är kongruent med resten mod 6? Jag trodde att 43 +a är kongruent med 3 mod 6, eftersom (43 + a)/ 6 ger samma rest som 3/6. Men här gör det att 43 +a är kongruent med resten mod 6? 

43 + a $\equiv 1+a mod 6$ 

Varifrån kommer 1+ a?

$1+a\equiv 3 mod 6$

???

3 är redan mindre än 6, så du vet redan att resten när du delar 3 med 6 är 3.

43 = 42+1 = 6*7+1 så 43 har resten 1 när det delas med 6, alltså är $43\equiv 1 (mod 6)$. Det är själva definitionen av kongruens när det gäller moduloräkning.

Eftersom $43\equiv 1 (mod 6)$ så är $43+a\equiv 1+a (mod 6)$.Det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor om kongruensteckent, precis som man får lov att göra samma saker på båda sidorna i en ekvation.

Nu sätter du in förenklingen i den ursprungliga ekvationen och löser den.

Okej nu förstår jag tack!