kongruens

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med att visa följande påstående:

Använd Eulers formel för att visa att $51 | 10^{32 n + 9} - 7$ för $n \geq 0$

Jag blir lite osäker då vi har konstanten n.

Kan man börja med att flytta över 7an så man får $10^{32 n + 9} \equiv 7 (m o d 51)$ ?

och sedan har jag att $10^{32} \equiv 1 (m o d 51)$ och $10^{9} \equiv 7 (m o d 51)$ så får vi då att $10^{32} + 10^{9} \equiv 15 (m o d 51)$ men hur ska man göra med n?

Eftersom

$10^{32}\equiv1\ \pmod{51}$

blir:

$10^{32n}=(10^{32})^n\equiv1^n\ \pmod{51}=1\ \pmod{51}$

Var det nog för att besvara din fråga?

om jag förstått rätt så får vi då dels resten 1 och sedan resten 7 modulo 51 och vi har -7 från början men då borde vi ju ha kvar resten 1?

$10^{9} \equiv 7 10^{32 n} \equiv 1$ så får vi då att $51 | 1 + 7 - 7$

Du tänker att

$10^{32n+9}=10^{32n}+10^9$

men i själva verket gäller:

$10^{32n+9}=10^{32n}\cdot10^9$

Eftersom

$10^{32n}\equiv1\ \pmod{51}$

och

$10^9\equiv7\ \pmod{51}$

blir

$10^{32n+9}\equiv1\cdot7\ \pmod{51}=7\ \pmod{51}$

Svara

Visa senaste svar