konform avbildning

Hej

jag har en uppgift jag skulle behöva lite hjälp med:

Hitta bilden av

$\{z : 0 < a r g z < 2 π / 3\}$ under $z \mapsto z^{5}$

Om man tittar på intervallet 0<argz<2pi/3 har vi ju en sträcka mellan 1a till 3e kvadranten men vad är det man ska göra sedan med mappningen från z till z^5?

Vad händer med belopp och argument i avbildningen?

jag är inte helt säker, det jag ser är ju att man ska ta allt upphöjt med faktor fem, ska man alltså få $0 < a r g z < {(2 π / 3)}^{5}$ vilket blir $0 < a r g z < \frac{32 π^{5}}{243}$

Jocke011 skrev:
jag är inte helt säker, det jag ser är ju att man ska ta allt upphöjt med faktor fem, ska man alltså få $0 < a r g z < {(2 π / 3)}^{5}$ vilket blir $0 < a r g z < \frac{32 π^{5}}{243}$

Nej. När man multiplicerar komplexa tal så multipliceras visserligen beloppen (så beloppet av en produkt av två tal med belopp 2 och 3 är 6) men argumenten adderas. Kom ihåg att multplikation med komplexa tal i grund och botten representerar rotationer.

arg(z*w) = arg(z) + arg(w)

Vid potenser med exponent 5 får man alltså inte att argumentet blir upphöjt med 5 utan istället att....

om man har ett komplext tal z får man att $z^{2} = z * z = \cos (v + v) + i * \sin (v + v) = \cos (2 v) + i * \sin (2 v)$ då borde vi väl i detta fall få att $z^{5} = \cos (5 v) + i * \sin (5 v)$ där v=2pi/3 och detta ger då $\cos (10 π / 3) + i * \sin (10 π / 3)$

Hur många hela varv kan du dra bort från argumentet?

jag borde väl kunna dra bort 4 hela varv och ha kvar 2pi/3 så då får vi cos(2pi/3)+isin(2pi/3)

Vilka argument kan då z^5 anta?

Du verkar inte ha någon restriktion på beloppet på området du avbildar, så hur kan man då beskriva bilden?

Svara

Visa senaste svar