Konfidensinterval för \mu för Exp(1/\mu)

Det finns inga dumma frågor? I alla fall:

Jag läser att konfidensintervall för $\mu$ om $X \sim Exp(\frac{1}{\mu})$ ges av två olika alternativ:

$I_\mu = \left( \frac{\bar{x}}{1+\frac{\lambda_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}}, \frac{\bar{x}}{1\frac{\lambda_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}} \right)$ , $\frac{\bar{X}-\mu}{\mu / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

eller

$I_\mu = \bar{x} \pm \lambda_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}$ , $\frac{\bar{X}-\mu}{\bar{X} / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

Jag har dels svårt att avgöra vilken som gäller när, men jag är heller inte med på härledningen av den första.

Hej,

Väntevärdet för $\text{Exp}(\frac{1}{\mu})$ -fördelningen är $\mu$ som därför skattas med stickprovsmedelvärdet $\bar{X}_n$ för $n$ stycken oberoende mätningar på $\text{Exp}(\frac{1}{\mu})$ -fördelningen.

Enligt Centrala gränsvärdessatsen är $\bar{X}_n$ ungefär normalfördelat om $n$ är tillräckligt stort (i detta fall av storleksordningen 1000). Väntevärdet för $\bar{X}_n$ är $\mu$ och variansen är $\frac{\mu^2}{n}$ , så att ett approximativt konfidensintervall för $\mu$ (konfidensgrad $1-\alpha$ ) ges av

$\bar{X}_n \pm \lambda_{\alpha/2} \frac{\mu}{\sqrt{n}}.$

Olikheterna kan omformas så:

$\bar{X}_n-\lambda \frac{\mu}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_n+\lambda \frac{\mu}{\sqrt{n}} \iff \frac{\bar{X}_n}{1+\lambda \frac{1}{\sqrt{n}}} \leq \mu \leq \frac{\bar{X}_n}{1-\lambda \frac{1}{\sqrt{n}}}.$

Albiki skrev:
Hej,
Väntevärdet för $\text{Exp}(\frac{1}{\mu})$ -fördelningen är $\mu$ som därför skattas med stickprovsmedelvärdet $\bar{X}_n$ för $n$ stycken oberoende mätningar på $\text{Exp}(\frac{1}{\mu})$ -fördelningen.
Enligt Centrala gränsvärdessatsen är $\bar{X}_n$ ungefär normalfördelat om $n$ är tillräckligt stort (i detta fall av storleksordningen 1000). Väntevärdet för $\bar{X}_n$ är $\mu$ och variansen är $\frac{\mu^2}{n}$ , så att ett approximativt konfidensintervall för $\mu$ (konfidensgrad $1-\alpha$ ) ges av
$\bar{X}_n \pm \lambda_{\alpha/2} \frac{\mu}{\sqrt{n}}.$
Olikheterna kan omformas så:
$\bar{X}_n-\lambda \frac{\mu}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_n+\lambda \frac{\mu}{\sqrt{n}} \iff \frac{\bar{X}_n}{1+\lambda \frac{1}{\sqrt{n}}} \leq \mu \leq \frac{\bar{X}_n}{1-\lambda \frac{1}{\sqrt{n}}}.$

Ja, den första olikheten kommer jag också fram till, och om man ersätter $\mu$ med dess skattning $\bar{X}$ så blir det det andra uttrycket i min originaltfråga. Men jag får inte din första olikhet att bli din andra olikhet. Har du några tips eller skulle du kunna tänka dig skriva något mellansteg?

Svara