Konens tröghetsmoment

Byt till cylinderkoordinater. Avståndet till x-axeln ges då av $r^2+z^2-r^2\cos^2(\theta)$ (visa detta!).

D4NIEL skrev:

Byt till cylinderkoordinater. Avståndet till x-axeln ges då av $r^2+z^2-r^2\cos^2(\theta)$ (visa detta!).

Aa okej, men varför ska vi ha avståndet till x-axeln?

$I_x$ är ett mått på hur trögt det är att rotera kroppen runt x-axeln.

Ju större avstånd, desto trögare blir det enligt formeln $\int r^2dm$

$r$ är ju avståndet till rotationsaxeln och i det här fallet är rotationsaxeln x-axeln.

D4NIEL skrev:

$I_x$ är ett mått på hur trögt det är att rotera kroppen runt x-axeln.

Ju större avstånd, desto trögare blir det enligt formeln $\int r^2dm$

$r$ är ju avståndet till rotationsaxeln och i det här fallet är rotationsaxeln x-axeln.

Aha aa okej. Men hur fick du fram den formeln för avståndet? Alltså den i cylinderkoordinater

Pythagoras sats på en rätvinklig triangel till en punkt inuti konen.

Avståndet från origo till punkten är $\sqrt{z^2+r^2}$, det vinkelräta avståndet $d$ ned till x-axeln blir då, enligt pythagoras sats:

$z^2+r^2=x^2+d^2$

$d^2=z^2+r^2-x^2$

I cylinderkoordinater är $x=r\cos(\theta)$

Tillägg: 29 sep 2024 11:34

Jag råkade visst räkna ut avståndet till y-axeln i bilden, men det är såklart samma sak.