Konens toppvinkel

Vad är konens volym uttryckt i h och r?

Det går att räkna med sin och cos, men prova finn ett samband mellan h och r, t.ex. genom Pythagoras' sats, istället. Det blir enklare räkningar.

Blir det såhär?

$$\begin{gathered} r^2+h^2=1 \\ {r}^2=1-h^2 \end{gathered}$$

1 ska vara upphöjt med 2 missade det

Volym för en kon är Bottens area multiplicerat med höjden $V=r^2\mathrm{\pi h}\iff {\cos }^2\left(\mathrm{v}\right)·\mathrm{\pi }·\sin \left(\mathrm{v}\right)$
Betrakta nu uttrycket som en funktion $\mathrm{y}={\mathrm{\pi cos}}^2\left(v\right)\sin \left(v\right)$, ta reda på extrempunkter, ta reda på vilket värde v: som ger störst värde y

Men Trinity sa ju att det blir enklare räkningar med ''pythagoras sats''? Jag gick utifrån det.

Ja okej, då menar han nog på följande sätt: 

$V=r^2\mathrm{\pi }·\mathrm{h}\iff \mathrm{V}=(1-{\mathrm{h}}^2)\mathrm{\pi }·\mathrm{h}\iff \mathrm{V}=...$

Om Trinity menar på något annat sätt vet jag inte vad det är. 

Du får inte ut vinkeln om du gör sådär med pythagoras sats, du får största möjliga volym men inte beroende på vinkeln. 

EDIT:
Eller ja, man skulle väl kunna räkna ut största möjliga volym först sedan ansätta höjd och radie för att få vinkeln efterhand såklart. 

Korra skrev:

Ja okej, då menar han nog på följande sätt: 

$V=r^2\mathrm{\pi }·\mathrm{h}\iff \mathrm{V}=(1-{\mathrm{h}}^2)\mathrm{\pi }·\mathrm{h}\iff \mathrm{V}=...$

Om Trinity menar på något annat sätt vet jag inte vad det är. 

Du får inte ut vinkeln om du gör sådär med pythagoras sats, du får största möjliga volym men inte beroende på vinkeln. 

EDIT:
Eller ja, man skulle väl kunna räkna ut största möjliga volym först sedan ansätta höjd och radie för att få vinkeln efterhand såklart. 

Det här ser bra ut. Men, uttrycket är för en rak cirkulär cylinder. En kon (och pyramid) har en faktor 1/3.

Men (igen!), det är bara en skalfaktor och ändrar ej maximats läge i på h-axeln. Vi kan t.o.m. slopa π och ha

V=(1-h^2)h

så länge vi bara är intresserade av vilket h som ger max.

Utveckla, derivera och teckenstudera, och allt är klart. (iaf nästan, beräkna till slut vinkeln)

Ja sant, slarvade med formel på volymen.