Konditionstal (numeriska beräkningar)

Konditionstalet är ett mått på hur nära en matris är att vara singulär.  Dvs hur nära $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ är att vara olösbart.

Ett stort konditionstal indikerar att A är elak, nästan singulär. Ett litet konditionstal nära 1 indikerar att A är snäll.

Lite slarvigt kan man säga att konditionstalet för  en matris

$\mathrm{cond}(A)=||A||\cdot ||A^{-1}||$

talar om hur mycket en vektor $x$ maximalt kan förstoras eller förminskas när man utför operationen $Ax$. (För L2-normen är konditionstalet bokstavligt talat den största möjliga förlängningen delat med den minsta möjliga förlängningen)

Den kanske vanligaste användningen av konditionstal är att avgöra hur stor påverkan en liten störning av indata $\Delta b$ har på resultatet $\Delta x$ när man försöker lösa $Ax=b$

Man kan visa att

$\frac{||\Delta x||}{||x||}\leq \mathrm{cond}(A)\frac{||\Delta b||}{||b||}$

Vi ser att ett stort värde på $\mathrm{cond}(A)$, dvs elak matris A,  innebär att även en liten störning $\Delta b$ kan ge stor påverkan på slutresultatet.

Och ja, konditionstalet beror på vilken norm du väljer att betrakta.

Det finns också en mer generell definition av konditionstalet där man istället använder pseudoinversen

$\mathrm{cond}(A)=||A||\cdot||A^+||$