Komplicerad faktorisering, gränsvärde.

Prova att dela p(x) med q(x), alltså utföra polynomdivisionen.

apapa skrev:

Hej! Sitter helt fast vid sista övningsuppgiften av gränsvärde. Frågan lyder:

Bestäm gränsvärdet till följande funktion:

$\underset{x\to -7}{\lim } f\left(x\right) = \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$

Om du vet att:

$p\left(x\right) =x^3 + 13x^2\hspace{0.17em}+ 44x + 14$

$q\left(x\right) =\hspace{0.17em}x + 7$

 

Jag hittar inget samband i denna uppgift. Någon som kan förklara? 

Hej. Välkommen till Pluggakuten. 

Din uppgift går ut på att finna gränsvärdet för funktionen $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$Så som uttrycket ser ut nu så går det inte att ersätta x med -7 som man skulle gjort i vanliga fall. Man får räkna bort divisionen först. Likt alla divisioner så söker man det värde som ska multipliceras med nämnaren för att få täljaren. Vi skriver om uttrycket så att det ser ut på följande sätt: $f\left(x\right)·q\left(x\right)=p\left(x\right)$nu kan vi se att det är f(x) som man ska multiplicera med q(x) för att få p(x). Det sökta är med andra ord f(x). Med hjälp av att ställa upp det som jag gjorde nu så kan vi få fram f(x) utan allt för mycket svårigheter. 

$$\begin{gathered} p\left(x\right)=x^3+13x^2+44x+14 \\ q\left(x\right)=x+7 \\ f\left(x\right)·q\left(x\right)=p\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)(x+7)=x^3+13x^2+44x+14 \end{gathered}$$

Nu kan man studera ekvationen och undra vilken grad av ekvation som f(x) måste vara för att HL ska stämma.

Kan du lösa den ekvationen? 

Alternativt konstaterar man utifrån derivatans definition att:

$\lim_{x\to -7}\frac{p(x)}{q(x)}=$

$\lim_{x\to -7}\frac{p(x)}{x-(-7)}=$

{$p(-7)=...=0$}

$\lim_{x\to -7}\frac{p(x)-p(-7)}{x-(-7)}=$

$p'(-7)$