komplexa talplanet

Om jag förstår rätt, för att undersöka om det gäller generellt behöver du ta z=a+bi. Hur ser z^1/22 och konjugaten ut då? 

$z^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a-ib} och konjugatet är lik \sqrt{a-ib}$

z^1/2 = sqrt(a+ib)

Ok, men kan du hitta uttryck för deras realdel och imaginärdel? Det går precis som du gjorde för de andra 2 uppgifterna, men du använder a och b istället för 1 och 2.

realdel är sqrt(a)  och sqrt(b) är imaginardel

Nej, det gäller inte att sqrt(a + bi) = sqrt(a) + i sqrt(b). Om det vore så skulle du ha fått för uppgiften a att u1 = sqrt(1) + i sqrt(2), men det är inte vad du räknade där.

Istället gäller det att om z = a + bi = r(cosx + i sinx) då är sqrt(z) = sqrt(r) ( cos((x + 2k * pi) / 2) + i sin((x + 2k * pi) / 2)), med k = 0 eller 1. Kan du använda detta för att hitta sqrt(z) och sqrt (konjugat)? 

$$\begin{gathered} \sqrt{z}=r^{\frac{1}{2}}\left(\cos \left(\right(x+2k*pi\right)/2)+i\sin ((x+2k*pi)/2\left)\right) \\ och konjugatet \\ \sqrt{z}=r^{\frac{1}{2}}\left(\cos \left(\right(x+2k*pi\right)/2)-i\sin ((x+2k*pi)/2\left)\right) \end{gathered}$$

men jag förstår inte vad innebar detta uttrycket ((x + 2k * pi) / 2) inom cos och sin funktionen. 

då vi ska bestämma z^(1/2) så delar vi med 2 innanfor cos och sin

Sqrt(z) har 2 rötter. För den första är k = 0 och för den andra är k = 1, så du får t.ex u₁ = sqrt(r) (cos(x/2) + i sin(x/2)) , och u₂ = sqrt(r) (cos((x + 2 pi) / 2) + i sin((x + 2 pi) / 2)). Du kan rita enhetscirkeln och uttrycka u₂ bara med cos x/2 och sin x/2. Fråga om du fastnar med detta.

För konjugatet har du skrivit konjugat(sqrt(z)), men jag tror uppgiften var att hitta sqrt(konjugat(z)). Dvs sqrt(konjugat(z)) = sqrt(r) ( cos((-x + 2k pi) / 2) + i sin ((-x + 2k pi) / 2)). Här igen kommer du att ha ett v₁ för k = 0 och v₂ för k = 1. Och igen behöver du titta på enhetscirkeln och förenkla i termer av cos x/2 och sin x/2. Posta vad du får då :) 

hej, vi ska hitta konjugatet av en rot, som är då roten till konjugatet, menar du det samma eller inte

Jag menar att uppgiften var att undersöka om rötterna ur konjugatet av z är lika med konjugaten av rötterna ur z. Det jag föreslog var att först beräkna rötterna ur z (u₁ och u₂ ) och då rötterna ur konjugatet av z (v₁ och v₂ ) och då se om det finns ett förhållande mellan dem. 

Är det meningen att vi skall avgöra om $\overline{z^{1/2}}={\left(\overline{z}\right)}^{1/2}$?

PATENTERAMERA skrev:

Är det meningen att vi skall avgöra om $\overline{z^{1/2}}={\left(\overline{z}\right)}^{1/2}$?

Jag antar det eftersom det verkar från länken ovan att uppgiften a var att ta rötterna ur 1+2i och uppgiften b att ta rötterna ur 1-2i. Men det vore bättre om suad kunde bekräfta det för oss. 

PATENTERAMERA skrev:

Är det meningen att vi skall avgöra om $\overline{z^{1/2}}={\left(\overline{z}\right)}^{1/2}$?

hej, ja det stämmer, 

suad skrev:

hej, ja det stämmer, 

OK då skulle jag börja med att försöka hitta ett komplext tal z där det sambandet inte gäller.

Om jag lyckas hitta det så har jag visat att sambandet inte gäller generellt. Om jag inte lyckas hitta det skulle jag istället försöka visa att sambandet gäller generellt.

Försök själv med några enkla komplexa tal, t.ex z = 1, z = i, z = -1 o.s.v.

Vad kommer du då fram till?