Komplexa talplanet

Hej,

jag håller på med uppgiften: "Bestäm alla komplexa tal för vilka $|z - 1| = 2 |z + 1|$ "

Skrev först om såhär: $|z - 1| = 2 |z - (- 1)|$

Tänker att $|z - 1|$ är avståndet från origo till x=1, på den reella talaxeln. Och att $|z - (- 1)|$ är avståndet från z till x=-1. Men hur ska jag tolka det när det sistnämna absolutbeloppet är multiplicerat med 2? Är avståndet dubbelt så stort då?

Avståndet från z till 1 är dubbelt så långt som avståndet från z till -1.

Lättast är nog att sätta in z=a+bi i likheten och ge sig på att lösa ekvationen. Beloppet |z-1| är alltså |a-1+bi|, vilket är $\sqrt{(a-1)^2 + b^2}$ , och så motsvarande i högerledet.

Hej,

Ekvationen kan skrivas

$\displaystyle\left|\frac{(z+1)-2}{z+1}\right|=2 \Longleftrightarrow |w-1|=2$

där $w=\frac{2}{z+1}$ . Punkten $w$ ligger på cirkel med centrum i $1+i0$ och radie $2$ , vilket motsvaras av att punkten $z$ ligger ...

Albiki skrev:
Hej,

Ekvationen kan skrivas

$\displaystyle\left|\frac{(z+1)-2}{z+1}\right|=2 \Longleftrightarrow |w-1|=2$

Hej! Förstår inte riktigt hur du får ekvationen. Antar att du delar båda led med $|z + 1|$ , men hur utvecklar/förlänger du sen?

Skaft skrev:
Lättast är nog att sätta in z=a+bi i likheten och ge sig på att lösa ekvationen. Beloppet |z-1| är alltså |a-1+bi|, vilket är $\sqrt{(a-1)^2 + b^2}$ , och så motsvarande i högerledet.

Testade detta, men vet ej riktigt hur jag ska tolka det.

$V L : |z - 1| = |a - 1 + b i| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} - 2 a + 1 + b^{2}} H L : 2 |z + 1| = 2 |a + 1 + b i| = 2 \sqrt{{(a + 1)}^{2} + b^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} + 2 a + 1 + b^{2}} V L = H L \sqrt{a^{2} - 2 a + 1 + b^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} + 2 a + 1 + b^{2}} a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} = 4 (a^{2} + 2 a + 1 + b^{2}) a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} = 4 a^{2} + 8 a + 4 + 4 b^{2}$

Men vad betyder egentligen detta? Hur ska jag tolka det?

Det är ett samband mellan real- och imaginärdel på ditt tal z. Du kan t.ex. lösa ut b, för att få en funktion för imaginärdelen som beror på realdelen.

Man kan också notera att a och b inte "blandas" (det finns ingen ab-term), och därför kan de kvadratkompletteras separat. Du kan därför få ekvationen på formen x² ± y² = konstant. Det är den form som cirklar, ellipser, hyperbler har. Svårare att se, men det är en väg att gå.

Svara

Visa senaste svar