Komplexa tal, z^4

Hej.

Eftersom koefficienterna är reella tal så dyker de komplexa lösningarna upp i komplexkonjugerade par.

Det betyder att om $z_1=ai$ är en lösning så är även $z_2=-ai$ en lösning.

Bestäm nu värdet på $a$ och utför sedan polynomdivision med $(z-ai)(z+ai)$, dvs med $z^2-(ai)^2$, dvs med $z^2+a^2$.

Låter bra, men hur bestämmer jag a?

Ja, det blir ju en fjärdegradsekvation i a, vilket inte är helt enkelt att lösa, speciellt eftersom a inte blir ett heltal.

Du kan pröva att hitta eventuella reella rötter istället med hjälp av satsen om rationella rötter.

Jag skulle sätta in z = i*a.

Real- respektive imaginärdelar ska vara lika på båda sidor likhetstecknet. 

Dr. G skrev:

Jag skulle sätta in z = i*a.

Real- respektive imaginärdelar ska vara lika på båda sidor likhetstecknet. 

@Yngve, testar Dr.G:s metod först. Tack 

@Dr.g - Jag vet att om z=ai blir uttrycket 0. Om jag sätter z=ai, då får jag ett ekv syst som ger: x=0, y=a (z=x+yi). Kommer inte längre då. 

hur menade du?

Dr. G skrev:

Jag skulle sätta in z = i*a.

Real- respektive imaginärdelar ska vara lika på båda sidor likhetstecknet. 

Just det, vi har ju både jämna och udda z-exponenter, vilket gör att vi har både real- och imaginärdelar i ekvationen.

Vi vet att det finns en rot 

$z=ia$

(och då är även konjugatet en rot p.g.a reella koefficienter.)

Insättning ger

$2(ia)^4+11(ia)^3+33(ia)=18+ i0$

Dela upp VL i real- och imaginärdelar. Lös ekvationssystemet. 

Dr. G skrev:

Vi vet att det finns en rot 

$z=ia$

(och då är även konjugatet en rot p.g.a reella koefficienter.)

Insättning ger

$2(ia)^4+11(ia)^3+33(ia)=18+ i0$

Dela upp VL i real- och imaginärdelar. Lös ekvationssystemet. 

Smart, din kunskap om komplexa tal är imponerande. 👍🏻

Fick rätt nu. 
z=isqrt(3)

z=-isqrt(3)

z=1/2

z=-6