Komplexa tal: vad ser ni när ni kollar på dom? (Matematik/Matte 4)

Nej, det är endast då Re(z) = plusminus Im(z) som argumentet är 45° + n*90°. Rita i det komplexa talplanet så ser du det.

Det betyder att varken täljarens eller nämnarens argument är det.

Däremot är din fundering kring 90° intressant. Vilken vinkel tänker du på då?

Beloppen av de två vektorerna i täljaren och nämnaren är lika, så kvoten=1.

Vinklarna: $a r c a n (\frac{y}{x})$

Vinklarna i täljare och nämnare subtraheras...

@Yngve:

Du vet att jag tänker inte så mycket, jag har bara ritat:

@Affe:

Beloppen är väl $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , ok, isf är dom lika... Och är det inte längre att räkna ut vinklarna? Ta reda på vilka kvadrant, och arctan på allt, och efter göra en substraktion...

Daja skrev :
@Yngve:
Du vet att jag tänker inte så mycket, jag har bara ritat:
@Affe:
Beloppen är väl $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , ok, isf är dom lika... Och är det inte längre att räkna ut vinklarna? Ta reda på vilka kvadrant, och arctan på allt, och efter göra en substraktion...

Du har ju redan ritat...arctan() slår du fort på kalkylatorn :-)

Något känns fel...

EDIT: något är fel!

Det är enklare än så Daja.

Antingen abnvänder du räknereglerna för division av komplexa tal, dvs om $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$

så är $A r g (z) = A r g (z_{1}) - A r g (z_{2})$ och $A b s (z) = \frac{A b s (z_{1})}{A b s (z_{2})}$

(och pga symmetrier är både differensen och kvoten enkla att beräkna)

Eller så tar du brutalmetoden: Förläng bråket med nämnarens komplexkonjugat.

Det är en uppgift som handlar om brutal metoden, men eftersom jag är så fruktansvärt dålig på algebra jag gillar när det är snyggt och stiligt vill jag använda räkneregler o geometri :)

$a r c \tan (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - a r c \tan (\frac{2}{\sqrt{2}}) = - 39.18 - 60.82 = - 100$

Tecknen på vinklarna kollar du ju i din fina figur :-)

Affe... varför hittar jag -90 grader?

Som Yngve säger, man måste se vad står i verkligenheten och inte vad man vill att det står, men ibland är man jävligt frestad att se vad man förväntar sig!! (när man vill se 90 grader och det kommer 90 grader liksom :)

(jag har försökt att räkna dom var för sig och jag får -35,26 och 54,74!!)

Men det fina här är ju att du inte ens behöver beräkna vare sig absolutbeloppen eller vinklarna Daja.

Att absolutbeloppen är lika har du redan konstaterat utan att beräkna dem.

Att täljaren z1 och nämnaren z2 är vinkelräta ser du genom symmetrin i deras real- och imaginärdelar (med lite hjälp av din figur).

Nämnarens argument är alltså 90° större än täljarens argument. Dvs Arg(z2) = Arg(z1) + 90°.

Sammanfattat blir då det resulterande komplexa talet z sådant att

Abs(z) = Abs(z1)/Abs(z2) = 1

Arg(z) = Arg(z1) - Arg(z2) = Arg(z1) - (Arg(z1) - 90°) = -90°

Dvz z = -i

Ok... långsamt men säkert fortsätter Tetris bittarna att falla på plats, lite fel ibland...

Du säger att det är typ så vi ser detta o delar $|z|$ med $|z|$ :

Men men men - 90 grader är jag inte riktigt med, först är jag inte särkert att det är 90 grader på min figur, och för den andra varför Affe skriver?

$a r c \tan (\frac{- 2}{\sqrt 2}) - a r c \tan (\frac{2}{\sqrt 2}) = - 39.18 ° - 60.82 ° = - 100$

Daja skrev :
Du säger att det är typ så vi ser detta o delar $|z|$ med $|z|$ :

Nästan. Vi delar |z1| med |z2|. Så byt bara ut den blåa z mot z1 och den röda z mot z2 i figuren så är det precis vad jag menar.

Men men men - 90 grader är jag inte riktigt med, först är jag inte särkert att det är 90 grader på min figur, och för den andra varför Affe skriver?
$a r c \tan (\frac{- 2}{\sqrt 2}) - a r c \tan (\frac{2}{\sqrt 2}) = - 39.18 ° - 60.82 ° = - 100$

Från den här figuren inser du lätt att v = 90° - u, vilket innebär att u+v = 90° och alltså att z1 är vinkelrät mot z2. Det går annars även att visa algebraiskt.

Yngve skrev :

MEN! Just det, man kan omplacera trianglar, dom är ju liksidiga och till och med identiska! Vilken fin figur!

Tack. Den är inte skalenlig men tydligen tydlig :-)

Trianglarna är inte liksidiga utan, som du säger, identiska.

Om du har lust kan du ju roa dig med att påvisa vinkelrätheten algebraiskt i ett allmänt fall där z1 = a+bi och z2 = b-ai.

Yngve skrev :
Tack. Den är inte skalenlig men tydligen tydlig :-)
Trianglarna är inte liksidiga utan, som du säger, identiska.
Om du har lust kan du ju roa dig med att påvisa vinkelrätheten algebraiskt i ett allmänt fall där z1 = a+bi och z2 = b-ai.

Den var super tydlig, jag citerade den för att kolla en gång till :).

Det låter roligt, jag gör det imorgon efter klassen (och efter kemin!)... nu verkar det dags att roa lite middag :)

Daja skrev :
Affe... varför hittar jag -90 grader?
Som Yngve säger, man måste se vad står i verkligenheten och inte vad man vill att det står, men ibland är man jävligt frestad att se vad man förväntar sig!! (när man vill se 90 grader och det kommer 90 grader liksom :)
(jag har försökt att räkna dom var för sig och jag får -35,26 och 54,74!!)

Ursäkta...min kalkylator råkade stå på 400 grader på ett varv...

90 grader blir det ju om man har 360 grader på ett varv :-)

Affe Jkpg skrev
Ursäkta...min kalkylator råkade stå på 400 grader på ett varv...
90 grader blir det ju om man har 360 grader på ett varv :-)

Hur mycket blir då 2 varv?

Det blir 800°. Du kan lita på mig 😉

Yngve skrev :
Affe Jkpg skrev
Ursäkta...min kalkylator råkade stå på 400 grader på ett varv...
90 grader blir det ju om man har 360 grader på ett varv :-)
Hur mycket blir då 2 varv?
Det blir 800°. Du kan lita på mig 😉

Hot stuff :-)

Oj ni har sådana proffsiga kalkylatorer :). Jag bara har TI 82 och blir overexcited när jag märker att den har massor med spännande funktioner (typ rita tangenter :)!)

Min fysik lärare sa en gång att det var en nerdy/smart grej för arkitekter, bland annat (400 grader verkar ju smidigare :)

Daja skrev :
Oj ni har sådana proffsiga kalkylatorer :).

Nej, jag använder inga avancerade kalkylatorer.

Jag har en gammal HP-42S liggandes någonstans, men jag vet inte var.

Yngve skrev :
Daja skrev :
Oj ni har sådana proffsiga kalkylatorer :).
Nej, jag använder inga avancerade kalkylatorer.
Jag har en gammal HP-42S liggandes någonstans, men jag vet inte var.

Ah, Jag hade också em HP-42S med omvänd polsk notation! Det väcker minnen ...

Jag kommer ihåg en tecknad HP-reklam i bruxanvisningen eller om det squalp-tidningen:
En man står i ett gathörn och frågar en prostituerad, "omvänd polsk?" varvid hon svarar "räkna me' de'"

Oj, det verkar som en fruktansvärt sexistisk reklam, särskilt för Sverige!

Inga kalkylator, du måste träna rätt mycket huvudräkning med allt som frågas här :)!

Jag skulle gissa att den reklamen var från 70-talet eller rent av 60-talet. När jag började gymnasiet i början av 80-talet var omvänd polsk notation redan fruktansvärt omodern.

Daja skrev :
Inga kalkylator, du måste träna rätt mycket huvudräkning med allt som frågas här :)!

Nej, jag skrev att jag inte använder några avancerade kalkylatorer.

För enkla beräkningar använder jag den inbyggda kalkylatorn i Windows och Androidappen RealCalc.

För grafritning använder jag WolframAlpha, Desmos, RechnerOnline eller PapperOchPennaOffline.

I övrigt kikar jag ofta i formelsamlingar eftersom jag är för slö/trög för att lära mig formler utantill.

Hej Daja!

Du är intresserad av att undersöka det komplexa talet

$\displaystyle \frac{a-\sqrt{a}\text{i}}{\sqrt{a}+a\text{i}},$

där det reella talet $a \neq 0.$

Börja med att bryta ut (det komplexa) talet $\sqrt{a}$ från både täljare och nämnare.

$\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\text{i}}{1+\sqrt{a}\text{i}}.$

Multiplicera sedan kvoten med nämnarens konjugat, under förutsättning att $a \neq -1.$

Error converting from LaTeX to MathML

Resultat: Du ser att oavsett vad det komplexa talet $a$ är (så länge det inte är lika med $-1 + 0\text{i}$ eller $0+0\text{i}$ ) så är kvoten $\frac{a-\sqrt{a}\text{i}}{\sqrt{a}+a\text{i}}$ samma sak som medurs rotation $90$ grader i Argandplanet.

Där har du en French Connection (dålig ordvits) till problemet; fransmän (och kvinnor) har haft (och har) mycket att säga om komplexa tal och komplex matematisk analys.

Albiki

smaragdalena skrev :
Jag skulle gissa att den reklamen var från 70-talet eller rent av 60-talet. När jag började gymnasiet i början av 80-talet var omvänd polsk notation redan fruktansvärt omodern.

All reklam var ritat/påhittad av studenter. Jag vet inte ens om företagen fick möjlighet att godkänna, innan det trycktes. De skulle nog inte godkäna vissa av dem. En annan reklam var ett skämt om betongskor/maffia, reklamen var för ett betongföretag.

HP-reklamen var kanske gjord tidigare (HP började med omvänd polsk notation 1968) men tidningen trycktes i slutet av 80-talet. Omvänd polsk notation avänds fortfarande i de flesta datorer men är inte vanligt i API.

HP 42S lancerades 1987 och var en av de mest avancerade på marknaden. Så inte tror jag att omvänd polsk notation var ett omodernt konsept då. Räknaren producerades till 1995.
En stor fördel är att man slipper paranteser och det krävs färre knapptryckningar. Men nackdelen är nog större, det är svårt att få en överblick över vad man skrivit.
HP-42S var lätt att programmera men kunde inte rita grafer! Det i sig självt är tillräckligt för att byta räknare (tycker jag som aldrig haft en grafritande räknare).

Daja skrev :
Oj, det verkar som en fruktansvärt sexistisk reklam, särskilt för Sverige!
Inga kalkylator, du måste träna rätt mycket huvudräkning med allt som frågas här :)!

Osmaklig kanske, men sexistisk? Förklara gärna.

joculator skrev :

HP 42S lancerades 1987 och var en av de mest avancerade på marknaden. Så inte tror jag att omvänd polsk notation var ett omodernt konsept då. Räknaren producerades till 1995.
En stor fördel är att man slipper paranteser och det krävs färre knapptryckningar. Men nackdelen är nog större, det är svårt att få en överblick över vad man skrivit.
HP-42S var lätt att programmera men kunde inte rita grafer! Det i sig självt är tillräckligt för att byta räknare (tycker jag som aldrig haft en grafritande räknare).

Då måste jag leta fram och kolla modellnumret på min räknare.

Den kunde rita grafer och jag har för mig att jag köpte den tidigare, runt 84/85.

@joculator: jag orkar inte utveckla, särskilt på svenska, varför det är sexistisk att utnyttja prostituerade kvinnor eller kvinnokroppar för att dra en "skämt". Det var säkert fine i den 70 talet men en sånt bild har inget med miniräknare. Det normaliserar attityden och spelar på att det är okej att göra det, och även roligt. Det finns hur mycket artiklar på internet som helst som förklarar det bättre.

@ Yngve: nu har jag googlat fram dina hemliga tyska programmer :)!! Jag måste nog hitta snart något annat än Sketchtoy, mina tekningar ser ut som en högerhänt 3-årig tvungen att rita med vänster hand för tillfälle. Men nu har jag börjat använda mig mer av den berömda Penna-Papper metoden, jag även ritar för andra i klassen!

@Alibiki: The French, så klart! Haha, det är säkert därför jag tycker om komplexa talen, det ligger nåt i kulturen :). Jag måste kolla på dina förklaringar när jag har tid, hade inte hunnit med matte idag (förutom kursen...). Dina LaTex ekvationer försvinner förresten, det händer ofta!

Daja skrev :
@ Yngve: nu har jag googlat fram dina hemliga tyska programmer :)!!

Vaddå googlat, jag bistod ju med länkar?

Jag vrider och vänder på min enkla kalkylator, men hittar inte ens något tillverkarnamn eller liknande. Sannolikt inköpt på Clas Ohlson för mer än tio år sedan. Jobbkalkylatorn är av liknande karaktär, men där kompletterar jag med Excel.

Yngve skrev :
joculator skrev :
HP 42S lancerades 1987 och var en av de mest avancerade på marknaden. Så inte tror jag att omvänd polsk notation var ett omodernt konsept då. Räknaren producerades till 1995.
En stor fördel är att man slipper paranteser och det krävs färre knapptryckningar. Men nackdelen är nog större, det är svårt att få en överblick över vad man skrivit.
HP-42S var lätt att programmera men kunde inte rita grafer! Det i sig självt är tillräckligt för att byta räknare (tycker jag som aldrig haft en grafritande räknare).
Då måste jag leta fram och kolla modellnumret på min räknare.
Den kunde rita grafer och jag har för mig att jag köpte den tidigare, runt 84/85.

Nej nu var jag ute och cyklade igen. HP48S var det ju.

Då måste det ha varit på 90-talet jag köpte den. Minnet är dåligt, men kort.

Ska f.ö. köpa en till sonen som börjar gymnasiet nu. Undrar om han skulle gilla en vintage?

*blåser bort dammet från displayen*

Tack till er att ni orkar hjälpa så mycket trotts att ni har så mycket ansvar med familj och jobb! Excel har jag aldrig orkat lära mig ordentligt, men den också had några mindblowing funktioner...

Det blev lite kulturell missförstånd: på franska, säger man "jag har googlat din grej" kan betyda bara att jag har öppnat Chrome och följt länk. Franskarna, vi är latta :)

Och det är klart att sonen kommer att uppskatta en vintage kalkylator som laddades några år med så mycket föräldrastalang, det är nästan en magiskt objekt Typ, "plantera den här frön som ska växa till himmel och göra dig förbannad rik!" (han kan åtminstone kolla vilka knapp används mest för att klara sin väg till teknisk fysik)!

Daja skrev :
@joculator: jag orkar inte utveckla, särskilt på svenska, varför det är sexistisk att utnyttja prostituerade kvinnor eller kvinnokroppar för att dra en "skämt". Det var säkert fine i den 70 talet men en sånt bild har inget med miniräknare. Det normaliserar attityden och spelar på att det är okej att göra det, och även roligt. Det finns hur mycket artiklar på internet som helst som förklarar det bättre.

Jag föreslår att du läser de artiklarna igen.

joculator skrev :
Daja skrev :
@joculator: jag orkar inte utveckla, särskilt på svenska, varför det är sexistisk att utnyttja prostituerade kvinnor eller kvinnokroppar för att dra en "skämt". Det var säkert fine i den 70 talet men en sånt bild har inget med miniräknare. Det normaliserar attityden och spelar på att det är okej att göra det, och även roligt. Det finns hur mycket artiklar på internet som helst som förklarar det bättre.
Jag föreslår att du läser de artiklarna igen.

Och jag föreslår att du inte gräver upp sexistiska "skämtar" från den 70-talet, det är varken underhållande eller roligt. Det är en läxhjälp forum, jag vill känna mig lika trygg som i klassrummet. Ingen skulle säga det på mattekurs eller i kontoret, och isf ingen skulle skratta. Så jag tycker att samma regler borde gälla online.

Och jag föreslår att ni parkerar den här diskussionen nu och, om ni ändå känner att behovet finns, plockar upp den i en egen tråd förslagsvis under "Allmänna diskussioner" i "Alla ämnen" eller "Samhällskunskap".

Jag tycker att det är en intressant diskussion, men den hör inte hemma i denna tråd.

Ok, nu har jag försökt din lek att bevisa att vinkel är 90 grader när $z_{1} = a + b i o c h z_{2} = b - a i$ ! Man ser det med Blötta Öga Tomma Hjärna :)

Jag kommer fram till i, men jag har glömt hur det är relaterat till graderna. Var det samma sak som enhet cirkeln?

Jag tittar på din post imorgon Alibiki, eller så fort jag hinner!

Albiki skrev :
Hej Daja!
Du är intresserad av att undersöka det komplexa talet
    $\displaystyle \frac{a-\sqrt{a}\text{i}}{\sqrt{a}+a\text{i}},$
där det reella talet $a \neq 0.$
Börja med att bryta ut (det komplexa) talet $\sqrt{a}$ från både täljare och nämnare.
    $\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\text{i}}{1+\sqrt{a}\text{i}}.$
Multiplicera sedan kvoten med nämnarens konjugat, under förutsättning att $a \neq -1.$
    Error converting from LaTeX to MathML
Resultat: Du ser att oavsett vad det komplexa talet $a$ är (så länge det inte är lika med $-1 + 0\text{i}$ eller $0+0\text{i}$ ) så är kvoten $\frac{a-\sqrt{a}\text{i}}{\sqrt{a}+a\text{i}}$ samma sak som medurs rotation $90$ grader i Argandplanet.
Där har du en French Connection (dålig ordvits) till problemet; fransmän (och kvinnor) har haft (och har) mycket att säga om komplexa tal och komplex matematisk analys.
Albiki

Men till slut har jag hunnit titta nu, jag har lite tid kvar innan matlaggnig o allt...

Jag har försökt kompletera vad saknades när du publicerade men jag kommer inte till en 90 grader rotation:

$\frac{\sqrt{a} - i}{1 + \sqrt{a}} * k o n j u g a t \frac{(\sqrt{a} - i) * (1 - \sqrt{a})}{(1 + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a})} = \frac{(\sqrt{a} - a - i - i \sqrt{a})}{1 - a} = \frac{\sqrt{a} - a - i (1 - \sqrt{a})}{}$

Jag kom aldrig till Argandplanet!