komplexa tal Moivres formel
Hej!
Jag försöker lösa följande uppgift:
z^5
z= 1-i
Man räknar då ut r, som jag får till sqrt(2)
Man måste sedan beräkna vinkeln.
Tangens för vinkeln är -1 / 1 vilket ger att vinkeln är 45 grader och hamnar i 4e kvadraten. Så den är väl 315 grader - eller minus 45 grader.
Detta upphöjt till 5 med Moivres formel blir att
z^5 = sqrt(2)^5 (cos 5pi/4 + i sin 5pi/4)
sqrt(2)^5 är ju samma som 4 * sqrt(2)
Men hur blir det med vinkeln. Är det plus eller minus?
Både cos och sin för 5pi/4 är = 1/sqrt(2)
Och i så fall tycker jag att svaret borde bli 4 + 4i.
Men svaret ska bli -4 + 4i.
Varför blir det minus 4? Och om det ska vara minus så borde det väl vara det på båda ställena?
/Strollum
arg(z) = -π/4 (+ n*2π)
arg(z^5) = 5*arg(z)
arg(z) = -pi/4
arg(z^5) = -5pi/4 = +3pi/4 dvs i kvadrant 2 där realdelen är negativ och imaginärdelen är positiv
Standardfråga 1a: Har du ritat?
Om du hade gjort det, borde du kunna se att 5-ggr-ursprungsvinkeln skulle hamna i andra kvadranten.
Aha... så cosinusdelen motsvarar alltså realdelen och sinusdelen motsvarar imaginär delen.
Så då blir den ena plus o den andra minus eftersom det är i andra kvadranten.
Jag hade ritat. Men dels utgick jag från z = 1-i . Dvs innan jag tog gånger 5. Och dels såg jag inte riktigt sambandet mellan
formeln och triangelns sidor.
Vad bra!
Tack för svaret. :)
