Komplexa tal, förlängning med konjugat

Problemet är det svar jag får i nämnaren när jag gör förlängning med konjugat som figuren nedan visar. Det går att korta ned lösningsgången på nämnaren genom att bara multiplicera $(1 + ω) (1 - ω)$ och sedan sätta tillbaka kvadraten igen på svaret. Men jag ville köra hela beviset för att visa att det blir lika som den kortare vägen, och körde fast. Vet någon hur detta komplexa tal ska hanteras så att man ser hela gången på lösningen?

$G = \frac{2}{(1 + ω)^{2}} \cdot \frac{(1 - j ω)^{2}}{(1 - j ω)^{2}}$

$\frac{2 (1 - j ω)^{2}}{(1 + 2 j ω + j^{2} ω^{2}) (1 - 2 j ω - j^{2} ω^{2})} \dots j^{2} = - 1 \Rightarrow \frac{2 (1 - j ω)^{2}}{(1 + 2 j ω - ω^{2}) (1 - 2 j ω + ω^{2})}$

Nämnaren bara: $(1 + 2 j ω - ω^{2}) (1 - 2 j ω + ω^{2})$ $\Rightarrow 1 - 2 j ω + ω^{2} + 2 j ω - 4 j^{2} ω^{2} + 2 j ω^{3} - ω^{2} + 2 j ω^{3} - ω^{4}$

$= 1 + 4 ω^{2} + 4 j ω^{3} - ω^{4}$ $= 1 + 3 ω^{2} + 4 j ω^{3}$

svar: $\frac{2 (1 - 2 j ω + ω^{2})}{1 + 3 ω^{2} + 4 j ω^{3}}$

Svaret skulle enligt läraren bli $\frac{2 (1 - 2 j ω - ω^{2})}{(1 + ω^{2})^{2}} m e n j a g t r o r d e t s k a v a r a + ω^{2} i t ä l j a r e n$

Daniel B skrev:
Problemet är det svar jag får i nämnaren när jag gör förlängning med konjugat som figuren nedan visar. Det går att korta ned lösningsgången på nämnaren genom att bara multiplicera $(1 + ω) (1 - ω)$ och sedan sätta tillbaka kvadraten igen på svaret. Men jag ville köra hela beviset för att visa att det blir lika som den kortare vägen, och körde fast. Vet någon hur detta komplexa tal ska hanteras så att man ser hela gången på lösningen?
$G = \frac{2}{(1 + ω)^{2}} \cdot \frac{(1 - j ω)^{2}}{(1 - j ω)^{2}}$
$\frac{2 (1 - j ω)^{2}}{(1 + 2 j ω + j^{2} ω^{2}) (1 - 2 j ω - j^{2} ω^{2})} \dots j^{2} = - 1 \Rightarrow \frac{2 (1 - j ω)^{2}}{(1 + 2 j ω - ω^{2}) (1 - 2 j ω + ω^{2})}$
Nämnaren bara: $(1 + 2 j ω - ω^{2}) (1 - 2 j ω + ω^{2})$ $\Rightarrow 1 - 2 j ω + ω^{2} + 2 j ω - 4 j^{2} ω^{2} + 2 j ω^{3} - ω^{2} + 2 j ω^{3} - ω^{4}$
$= 1 + 4 ω^{2} + 4 j ω^{3} - ω^{4}$ $= 1 + 3 ω^{2} + 4 j ω^{3}$
svar: $\frac{2 (1 - 2 j ω + ω^{2})}{1 + 3 ω^{2} + 4 j ω^{3}}$
Svaret skulle enligt läraren bli $\frac{2 (1 - 2 j ω - ω^{2})}{(1 + ω^{2})^{2}} m e n j a g t r o r d e t s k a v a r a + ω^{2} i t ä l j a r e n$

Nej läraren har rätt. Du glömmer att $j^2=-1$ .

$(1-jw)^2=1^2-2jw+(jw)^2=$

$=1-2jw+j^2w^2=1-2jw-w^2$

Men det är onödigt krångligt och felbenäget att utveckla kvadraterna i nämnaren innan multiplikation. Använd istället konjugatregeln så här:

$(1+jw)^2(1-jw)^2=$

$=(1+jw)(1+jw)(1-jw)(1-jw)=$

$=((1+jw)(1-jw))((1+jw)(1-jw))=$

$=(1^2-(jw)^2)(1^2-(jw)^2)=$

$=(1+w^2)^2$

Om du vill så kan du nu utveckla kvadraten, vilket då blir $1+2w^2+w^4$ och inte det du fick fram.

-----------

Felet du gör är vid kvadreringen av nämnarens sista faktor.

Du skriver att $(1-jw)^2=1-2jw-j^2w^2$ men det ska ju vara $1-2jw+j^2w^2$ .

Korrigera det och räkna om så ska du se att resultatet blir detsamma.

Tack för svaren, det hjälper!

Svara

Visa senaste svar