25 svar

447 visningar

Martin Berglund behöver inte mer hjälp

Komplexa tal, fastnat på fråga.

Frågan

Påstående A

$\frac{(2 + 3 i)}{(5 - 3 i)} = \frac{(2 + 3 i)}{(1)} * \frac{(5 - 3 i)}{(1)} = 10 - 6 i + 15 i - 9 i^{2} = 10 + 9 i - 9 i^{2}$

Påstående A anses därmed vara sann.

Svar: Sant

Påstående B

Svar: Sant

Påstående C

Svar: Sant

Påstående D

Svar: Falskt

Påstående E

Svar: Falskt

Mina svar dvs. att A, B, och C är sanna är inte korrekta, hur löser man uppgiften/vad har gjort fel/är det något jag inte tagit hänsyn till som ger upphov till fel?

Du har inte gjort rätt på D. Du ska multiplicera talen och sen ta imaginärdelen.

På D får jag

(2+3i)*(2-3i)= 4 - 6i + 6i -9i^2 = 4 - 9i^2

4 - 9i^2 är inte lika med noll samt att imaginärdelen är -9i^2 och därmed är påstående D fortsatt falsk.

Faktum kvarstår att ABC är fel kombination.

Martin Berglund skrev:
På D får jag
(2+3i)*(2-3i)= 4 - 6i + 6i -9i^2 = 4 - 9i^2
4 - 9i^2 är inte lika med noll samt att imaginärdelen är -9i^2 och därmed är påstående D fortsatt falsk.

Vad är $i^2$ ?

i^2 är kvadraten av imaginära enheten vilket har värdet -1.

Således blir Im(z*(z med streck ovanpå)) = 4 + 9 = 13 vilket inte är lika med 0 och D är fortsatt falsk.

Martin Berglund skrev:
i^2 är kvadraten av imaginära enheten vilket har värdet -1.
Således blir Im(z*(z med streck ovanpå)) = 4 + 9 = 13 vilket inte är lika med 0 och D är fortsatt falsk.

Du går för fort fram. Själva produkten är 13. Vad är imaginärdelen av 13?

Korrekt kombination är ABCDE, men varför är D och E sanna?

Några räkneregler som är bra att känna till

$z \bar{z}$ = ${|z|}^{2}$

$z + \bar{z}$ = 2Re(z).

Övertyga dig om att detta stämmer.

Martin Berglund skrev:
Korrekt kombination är ABCDE, men varför är D och E sanna?

$z \cdot \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - a b i + a b i + b^{2} i^{2} = a^{2} - b^{2} + 0 i$

Imaginärdelen är alltså 0.

$V L = (z - z_{0}) (z - \bar{z_{0}}) = (a + b i - (A + B i)) (a + b i - (A - B i)) =$

$= ((a - A - b i) + B i) ((a - A - b i) - B i) = {(a - A - b i)}^{2} - (B i)^{2} =$

$= {(a - A - b i)}^{2} + B^{2} = ({(a - b i) - A)}^{2} + B^{2} = {(z - A)}^{2} + B^{2} = z^{2} - 2 A z + A^{2} + B^{2} =$

$= z^{2} - 2 A z + {\sqrt{A^{2} + B^{2}}}^{2} = z^{2} - 2 A z + | z_{0} | = H L$

eftersom Re(z₀)=A.

För del D: Ett godtyckligt komplext tal z kan skrivas $z = a + i b$ där $a, b \in ℝ$ .

Vad blir då $I m (z \cdot \bar{z}) ?$ I din lösning för påstående D räknade du ut att $I m (z \cdot z) = 4 - 9 i^{2} = 4 + 9 = 13 = 13 + 0 \cdot i .$

Räkna ut $z \cdot \bar{z} = (a + i b) (a - i b)$ och se om imaginärdelen är noll eller inte. Att göra denna typ av beräkning med ett godtyckligt komplext tal kanske är mer besvärligt än att räkna med konkreta tal; fast om man genomför detta resonemang med $z = a + i b$ och får $I m (z \cdot z) = 0$ så har vi verkligen bevisat att så är fallet. Självklart, om påståendet inte skulle stämma måste vi leta efter motexempel.

Om E: Önskar vekligen att de hade skrivit (Re(z₀))z eller Rez₀^.z istället för Re(z₀)z, det hade varit mycket tydligare. Men om man hade menat att man skulle multiplicera ihop de båda komplexa talen först och beräkna realdelen efteråt, borde man ha skrivit Re(zz₀). Detta begrep jag inte förrän jag misslyckades med att bevisa det om jag multiplicerade ihop först och tog raldelen av detta.

Uppgift C blir tyvärr lite av en gissningslek kring hur mycket problemskaparen själv förstår och hur man ska tolka frågan.

Tack så mycket för era lösningar!

Varifrån kommer uppgifterna?

I A räknar du fel: nämnaren hamnar på något sätt som täljare i stället.

I A-uppgiften skulle jag förlänga med nämnarens konjugat för att få en reell nämnare, d v s med dina siffror $\frac{2+3i}{5-3i}=\frac{2+3i}{5-3i}\cdot\frac{5+3i}{5+3i}=\frac{(2+3i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}=\frac{2\cdot5+2\cdot3i+5\cdot3i+9i^2}{5^2-9i^2}=\frac{10+21i-9}{25+9}=\frac{1}{34}+\frac{21}{34}i$ . Detr blev alltså ett komplext tal.

Om du vill bevisa att det alltid är det, beräkna t ex (a+bi)/(A+Bi) och kolla hur det ser ut.

Det är dessutom så att du inte kan bevisa påståendet med exempel. Man kan bara eventuellt motbevisa det genom ett motexempel.

Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?

Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:

$z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$

$z_{2} = r_{2} {e^{i θ_{2}}}_{}$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$

Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall $θ_{1} - θ_{2} = 0$ .

Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på $θ_{1}, θ_{2}$ men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.

JohanF skrev:
Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?
Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:
$z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$
$z_{2} = r_{2} {e^{i θ_{2}}}_{}$
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall $θ_{1} - θ_{2} = 0$ .
Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på $θ_{1}, θ_{2}$ men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.

Alla reella tal tillhör mängden av komplexa tal.

Laguna skrev:
JohanF skrev:
Jag kanske missuppfattar fråga A, men för att bevisa att det är sant måste man väl bevisa att det alltid är sant. Inte hitta ett exempel som det är sant för?
Jag skulle vilja säga att A inte är sant. Skriv två komplexa tal på polär form:
$z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$
$z_{2} = r_{2} {e^{i θ_{2}}}_{}$
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
Dvs kvoten blir ett reellt tal ifall $θ_{1} - θ_{2} = 0$ .
Definitionen på ett nollskillt komplext tal är kanske att talet ska ha både en reell och en imaginär del, vilket ställer lite ytterligare krav på $θ_{1}, θ_{2}$ men det hindrar inte från att hitta exempel där påståendet A inte är uppfyllt.
Alla reella tal tillhör mängden av komplexa tal.

Haha! Jag visste väl att jag inte riktigt förstod frågan. En slamkrypare. (Kan man tänka sig något bevis för påståendet)

Det är väl egentligen en fråga om definition.

De komplexa talen skall ju utgöra en talkropp och måste därför per definition vara sluten under de vanliga aritmetiska operationerna - addition, multiplikation, additiv invers och multiplikativ invers.

De reella talen är isomorfa med en delkropp (imaginärdel = 0) till de komplexa talen och brukar därför identifieras med denna delkropp.

Vad jag menade var, kan man tänka sig något annat bevis än att bara konstatera faktum om definitioner? Nu var det ju en kryssfråga där man inte behöver redovisa svaret, så man har ju ändå en bra chans att får rätt utan att kunna något. Men det känns som att för att vara i en lärobok för gymnasiet så tycker jag att det borde finnas något sätt att kunna resonera sig fram till rätt svar utifrån den kunskapsnivå om talmängder som en gymnasiestudent borde ha.

Alla z = x+iy år komplexa tal även om y råkar vara noll.

matsC skrev:
Alla z = x+iy år komplexa tal även om y råkar vara noll.

Jepp, men frågan blir lite goddag yxskaft slamkrypare.

Varför bemödar frågeställaren sig med att specificera att detta gäller för två ”nollskillda komplexa tal”?

Samma fråga har skapat förvirring på pluggakuten förr...

https://www.pluggakuten.se/trad/komplexa-tal-och-konjugat/

Svara

Visa senaste svar