Komplexa tal

Föraren skrev :

Hej,

 

$(\frac{1}{2}+\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{2}i{)}^{100}$ ska lösas. Jag funderade på om binomialsatsen fungerar här eller om det är meningen att man ska dela upp faktorerna. Någon som vet?

Skriv om det komplexa talet på polär form och använd de Moivres formel.

För att gå över till polär form får jag inte ha ^100?

Föraren skrev :

För att gå över till polär form får jag inte ha ^100?

Förlåt, jag var otydlig.

Uppgiften gäller att beräkna $z^{100}$, där $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Skriv om det komplexa talet $z$ på polär form och använd sedan de Moivres formel.

Hej!

Om det komplexa talet $z$ skrivs på polär form som

    $z = re^{i\theta}$

så blir det komplexa talet $z^{100}$ lika med det komplexa talet

    $r^{100}e^{i100\theta}\ .$

Albiki

Svar: $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Hur får man fram det här?

Föraren skrev :

Svar: $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Hur får man fram det här?

Har du försökt att följa våra tips?

Steg 1: Skriv om det komplexa talet z på polär form. Hur ser z ut då? Vad är beloppet av z och vad är argumentet hos z?

Steg 2: Använd de Moivres formel. Dvs höj upp beloppet till 100 och multiplicera argumentet med 100 . Vad blir då det nya komplexa talets belopp? Vad blir dess argument?

Fråga gärna om du behöver hjälp med de olika stegen.

Ber om ursäkt. Min bärbara dator dog och där var ingen plats till att ladda den (fullt på högskolan). Nu är jag dock hemma och ska försöka, dock väldigt trött. Återkommer! Maten är på gång också så det kan ta lite längre tid :) 

$$\begin{gathered} \left|z\right|=1 \\ \theta = \frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ z = e^{100i\frac{\mathrm{\pi }}{3}} \\ --------------- \\ z= \left(\cos \right(60°)+i\times \sin (60°){)}^{100} \\ z = \cos (6000°)+i\times \sin (6000) \end{gathered}$$

Är väldigt osäker på hur smidigt det är att räkna följande. Ge gärna tips på enklare uträkning om det finns!

$$\begin{gathered} 6000/360 = 16,666... \\ 360\times 16 = 5760 \\ 6000-5760 = 240 \\ \to z = \cos (240°+i\times \sin (240°) \end{gathered}$$

Nu har jag pluggat in enhetscirkeln så att jag kan den utantill... Men hur är det annars jag kommer fram till att $\cos (240°) = -\frac{1}{2}$?

$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

$r=|z|=1$

$\theta =Arg\left(z\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Det betyder att 

$z=r{e}^{i\theta }=1·e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{3}}=e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$

Och alltså att 

$z^{100}=r^{100}{e}^{i·100\theta }=1^{100}{e}^{i·\frac{100\mathrm{\pi }}{3}}$

$z^{100}=e^{i\left(\frac{96+4}{3}\right)\mathrm{\pi }}=e^{i·32\mathrm{\pi }}·e^{i\frac{4\mathrm{\pi }}{3}}=e^{i\frac{4\mathrm{\pi }}{3}}$

Det betyder att 

$z^{100}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ja, det var ett smidigare sätt! Tack!

En fråga:

$e^{i\left(\frac{96+4}{3}\right)\mathrm{\pi }}$ skrivs för att det ska vara delbart med $2\mathrm{\pi }$ (ett varv)? Första tanken var att dela med det högsta tänkbara: $e^{i\left(\frac{99+1}{3}\right)\mathrm{\pi }} = e^{i\frac{1\mathrm{\pi }}{3}}$. Det går väl inte?

Föraren skrev :

En fråga:

$e^{i\left(\frac{96+4}{3}\right)\mathrm{\pi }}$ skrivs för att det ska vara delbart med $2\mathrm{\pi }$ (ett varv)? Första tanken var att dela med det högsta tänkbara: $e^{i\left(\frac{99+1}{3}\right)\mathrm{\pi }} = e^{i\frac{1\mathrm{\pi }}{3}}$. Det går väl inte?

$e^{i(\frac{96+4}{3})\pi }=e^{i32\pi }\cdot e^{i\frac{4\pi }{3}}$

Eftersom $e^{i32\pi }=e^{16\cdot i2\pi }$ så är denna faktor lika med 1 ("16 hela varv")

Därför är $e^{i(\frac{96+4}{3})\pi }=e^{i\frac{4\pi }{3}}$