Komplexa tal

arg(z) betyder argumentet av ett komplext tal z.

Är du bekant med komplexa tal på polär form? 

Jag pluggar på egen hand men då vet jag var jag ska kika närmare på. Tyckte det var konstigt att av femtio räknaexempel fanns noll med dessa... En ledtråd hade dock inte varit fel men vill prova at lösa själv sen :)

Föraren skrev :

Jag pluggar på egen hand men då vet jag var jag ska kika närmare på. Tyckte det var konstigt att av femtio räknaexempel fanns noll med dessa... En ledtråd hade dock inte varit fel men vill prova at lösa själv sen :)

Ledtrådar:

1. Läs här om hur du kan skriva talen på polär form.

2. Om $z_1$ och $z_2$ är två komplexa tal så gäller följande räkneregler:

• $Arg(z_1\cdot z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)$
• $Arg(z_1/z_2)=Arg(z_1)-Arg(z_2)$

Så i denna uppgiften så tänker jag

$arg\frac{z_1\times z_2}{z_3} = arg z_1+arg z_2-arg z_3$

Alltså

$arg(2+2i)+arg(1+i\sqrt{3})-arg\left(3i\right(\sqrt{12}-2i\left)\right)$

Föraren skrev :

Så i denna uppgiften så tänker jag

$arg\frac{z_1\times z_2}{z_3} = arg z_1+arg z_2-arg z_3$

Alltså

$arg(2+2i)+arg(1+i\sqrt{3})-arg\left(3i\right(\sqrt{12}-2i\left)\right)$

eller ännu bättre:

$arg(2+2i)+arg(1+i\sqrt{3})-arg\left(3i\right)-arg(\sqrt{12}-2i)$

så t.ex. första termen, $arg(2+2i)$:

$$\begin{gathered} arg(2+2i) =x \\ \tan x =\frac{2i}{2} \end{gathered}$$ 

("i" behövs inte skrivas ut men jag gör det för att lära mig)

$x = arc\tan \left(1\right) = 45°$

Har jag förstått det rätt?

Ja så långt är det rätt. Men man bör räkna i radianer. I detta fall alltså pi/4

Observera dock att arctan funktionen ger svar mellan pi/2 och -pi/2, varför man själv måste kolla vilken kvadrant z ligger i. 

Om z = (-1+i) är arg(z) = 135 grader, eller 3pi/4 radianer, men arctan(-1) = -pi/4. Är du med på det?

Just det, standardvinklarna... Det är bara till att plugga in dem!  Jag har den vanliga enhetscirkeln på bild och kan den men finns det någon som har med $\tan$?

"Om z = (-1+i) är arg(z) = 135 grader, eller 3pi/4 radianer, men arctan(-1) = -pi/4. Är du med på det?" Ja men den är en av de lättare vinklarna. Hur gör man vid t.ex. $2-2\sqrt{3}i$? eller ännu värre, $5-3\sqrt{3/5}i$? 

Håll tillgodo med ovanstående (inkl. $\tan$).

Tusen tack, tomast80! Får man lov att fråga var du fick tag på den?

 @Ture

Så om jag har förstått dig rätt så är det samma räknesätt bara att jag ska se i vilken kvadrant och addera x antal 90 grader? T.ex. om det är i tredje kvadranten så ska jag addera 90*2 för att få ut vinkeln. Förstår du hur jag tänker?

Föraren skrev :

 @Ture

Så om jag har förstått dig rätt så är det samma räknesätt bara att jag ska se i vilken kvadrant och addera x antal 90 grader? T.ex. om det är i tredje kvadranten så ska jag addera 90*2 för att få ut vinkeln. Förstår du hur jag tänker?

Jo jag förstår hur du tänker och du tänker nog rätt!

För att förtydliga: 

Man ser ju väldigt lätt vilken kvadrant man befinner sig i.

Däremot om man bara mekaniskt slår på sin räknedosa och får svaret arctan(a/b) = 30 grader, kan det i betyda antingen att argumentet är 30 grader eller att man istället befinner sig i tredje kvadranten där både realdel och imaginärdel är negativa, svaret ska då bli ett halvt varv mer dvs 30+180 grader.

Får man istället svaret -30 grader betyder det på samma sätt att man antingen är i fjärde kvadranten eller i andra, argumentet är då antingen -30 grader (eller 330 om man så vill) eller 180+(-30) dvs 150 grader.

När jag räknar på det får jag:

$arg(2+2i)+arg(1+i\sqrt{3})-arg\left(3i\right)-arg(\sqrt{12}-2i)$

$arc\tan \left(1\right)+arc\tan \left(\sqrt{3}\right)-arc\tan \left(3\right)-arc\tan \left(\frac{-2}{\sqrt{12}}\right)$

$$\begin{gathered} arc\tan (1+\sqrt{3}-3-\frac{-2}{\sqrt{12}}) = arc\tan (\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}-2) = \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{\mathrm{\pi }}{6} \to \frac{\mathrm{\pi }}{3}+n2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

I facit står dock $\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{n}2\mathrm{\pi }$

(n - antal varv som jag tror ni kan)

I.o.m. att ingen miniräknade får användas vid tentorna så räknar jag nu utan för mitt eget bästa.

Det är direkt fel att stoppa in alla argument i samma arctan funktion.

du måste räkna ut argumentet för var och en av de fyra talen.

observera också att arg(3i) = pi/2

Du får alltså

pi/4+...

Hur får jag fram att $arc\tan \left(3\right) =\frac{\mathrm{\pi }}{2}$? $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ är odefinierat för tangens?

My bad! Jag tänkte som så att $arg\left(3i\right) = arc\tan \left(\frac{3}{1}\right) (=3)$ men det stämmer inte alls! Den här ettan i nämnaren har en betydelse. $arg(1+3i) =arc\tan \left(\frac{3}{1}\right)$ vilket det inte står, utan $arg\left(3i\right)$ och då har vi ingen lutning utan vi klättrar alltså endast uppåt på den imaginära delen i koordinatsystemet. Förstår jag dig bättre nu? :)

Om jag har förstått det rätt så är $arg\left(3\right) = 0$? $arg(-3)=\mathrm{\pi }$

En fråga om dessa som innehåller enbart imaginära delen eller reella delen (t.ex. $arg\left(3i\right)$ eller $arg\left(3\right)$) kan inte sättas i $arc\tan$? 

T.ex.

$arg\left(3\right) \to arc\tan (0/3), arg\left(3i\right) \to arc\tan (3/0)$

Jo, en bra ide är att alltid rita en figur.

Om du ritar i 3i i det komplexa talplanet ser du direkt vad argumentet är.

Liksom för 3, -17i , 2+2i, osv. En figur gör livet enklare!

Jo jag "ritade det i huvudet", om du förstår. :)

Jag fick rätt på uppgiften!

Men en fråga som kvarstår är ju hur jag vet i vilken kvadrant den är i?

$arg\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3})}{3i(\sqrt{12}-2i)}$

Vi pratade om det ovan men då var det t.ex.

$arg(2+2i)$

och inte mer.

Föraren skrev :

Tusen tack, tomast80! Får man lov att fråga var du fick tag på den?

Varsågod! Det var bara en formelsamling jag hittade på nätet.

Föraren skrev :

Jo jag "ritade det i huvudet", om du förstår. :)

 

Jag fick rätt på uppgiften!

Men en fråga som kvarstår är ju hur jag vet i vilken kvadrant den är i?

$arg\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3})}{3i(\sqrt{12}-2i)}$

Vi pratade om det ovan men då var det t.ex.

$arg(2+2i)$

och inte mer.

Problemet med att bestämma rätt kvadrant uppstår när du använder arctan funktionen. När du bestämt varje terms argument på ett riktigt sätt blir det rätt per automatik när du sammanställer hela uttryckets argument. 

(Men jag har sett att man brukar lägga till ett helt antal varv i svaren, dvs n*2pi)