Komplexa tal

Hej.

Är du med på att

• Om $z=a+bi$ så är $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ och att detta är ett reellt tal?
• Om $w=c+di$ så är $|w|=\sqrt{c^2+d^2}$ och att detta är ett reellt tal?

Det de gör är att de förlänger bråket med $c^2+d^2$, inte $c^2+b^2$.

Ja men varför förlänger de bråket?

Om $z=a+bi$ och $w=c+di$ så är $\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

Det betyder att $|\frac{z}{w}|=\sqrt{\frac{(ac+bd)^2+(bc-ad)^2}{(c^2+d^2)^2}}=$

$=\sqrt{\frac{(ac)^2+(bd)^2+2acbd+(bc)^2+(ad)^2-2bcad}{(c^2+d^2)^2}}=$

$=\sqrt{\frac{(ac)^2+(bd)^2+(bc)^2+(ad)^2}{(c^2+d^2)^2}}$

så vi förlänger för att få samma svar helt enkelt?

Nja, inte direkt.

Jag tycker att lösningen är lite onödigt krävande av läsaren.

Det vore bättre att "gå från två håll", dvs att

• dels utgå från $\frac{|z|}{|w|}$ och komma fram till det komplicerade rotuttrycket
• dels utgå från $|\frac{z}{w}|$ och komma fram till samma komplicerade rotuttryck.

Men varför ska jag då förlänga?

Om man vill bli av med ett komplext tal i nämnaren så är ett standardknep att förlänga med nämnarens komplexkonjugat.

Detta eftersom $w\cdot\bar{w}={|w|}^2$

åhh det sant komplexkonjugat för ett raellt tal ändras inte därför förlänger man med samma

Tillägg: 23 nov 2023 22:09

Tusen tack!!!!