Komplexa tal

Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att uttrycket är reelt
$(- 1 + i)^{n}$

$z = - 1 + i z = \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \cdot \sin (\frac{3 π}{4})) z^{n} = {\sqrt{2}}^{n} (\cos (n \cdot \frac{3 π}{4}) + i \cdot \sin (n \cdot \frac{3 π}{4})) \sin (n \cdot \frac{3 π}{4}) = 0 n \cdot \frac{3 π}{4} = 0 + p \cdot 2 π n \cdot \frac{3 π}{4} = π + p \cdot 2 π$

$n = p \cdot 2 π n = \frac{π}{\frac{3 π}{4}} + \frac{p \cdot 2 π}{\frac{3 π}{4}} = \frac{4 π}{12 π} + \frac{p \cdot 8 π}{3 π}$
.... Vet inte riktigt vad jag håller på med men om argumentet är 0 så kommer imaginär delen också att bli 0. Varför blir det konstigt när jag gör det? Vad gör jag för fel.

Lägger till: om n= 0 så är det inte ett positivt heltal så det funkar inte heller..

Jag inser nu att argumentet inte behöver vara 0 för att imaginär delen ska försvinna, det fungerar alldeles utmärkt om argumentet är 180 grader också för då hamnar vektorn på den reella axeln. Svaret är n = 4 för då är argumentet 3pi och då hamnar vi på den reella axeln.

Ja det stämmer. Roligt att du blev nöjd med hjälpen du fick (av dig själv) :-)

Yngve skrev :
Ja det stämmer. Roligt att du blev nöjd med hjälpen du fick (av dig själv) :-)

Japp, ensam varg här.

Men det blir det fortfarande konstigt.... Titta här hur jag har ritat.
Om det stämmer att $z = - 1 + i z = \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \cdot \sin (\frac{3 π}{4}))$ då ser vektorn ut såhär:

men om vi nu ska multiplicera vinkeln med 4 då får vi att hamnar här för man adderar 180'3 grader

Nej! nu fattar jag igen! hehe, argumentet ändras till 540 grader förstås och det är samma sak som z = -1.

Yngve skrev :
Ja det stämmer. Roligt att du blev nöjd med hjälpen du fick (av dig själv) :-)

Om det är något mer du undrar så är det bara att ställa dig frågan :-D

Svara

Visa senaste svar