komplexa tal

Uppgift 41

Om någonting är en rot/lösning till ekvationen så kan man även veta att z-roten är en faktor i ekvationen

Exempelvis om rötterna till ekvationerna är a,b,c och d

så kan man skriva ekvationen som (z-a)(a-b)(z-c)(z-d)=0 för om det ska vara en lösning till en ekvation som är lika med noll så måste denna lösning ge att en faktor bli 0. Detta enligt nollproduktmetoden.

Eftersom vi här får veta att två rötter är

 $$\begin{gathered} z_1=i och z_2=-i \\ så måste (z-i) och (z-(-i\left)\right)=(z+i) vara faktorer \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z^4-z^3-z+1=0 \\ kan alltså även skrivas som \\ (z-i)(z+i)(z-a)(z-b)=0 \\ eller ännu mer förenklat \\ (z^2-i^2)(z-a)(z-b) se konjugatrege\ln \\ (z^{2)}-1)(z-a)(z-b) i^2=-1 \end{gathered}$$

Du är intresserad av att kunna lösa ut a och b som är de andra rötterna. Kan du dividera bort faktorn som du redan känner till och komma vidare därifrån för att kunna lösa ut a och b 

Gör en egen tråd för den andra frågan.

Det stämmer som Yngve säger - en fråga per tråd. /moderator

Fortsättning på Jontos inlägg:

Första faktorn på sista raden ska väl vara  z^2 - (-1) = z^2 + 1 ?

Har man kommit så har långt skulle man kunna bestämma a och b genom att utveckla produkten och identifiera koefficienterna med dem i den ursprungliga ekvationen.
Då slipper man dividera polynomet och  sedan lösa en andragradsekvation.
Pröva bägge metoderna!

Det stämmer som Arktos säger att jag har gjort ett misstag på sista raden där det ska vara 

(Z^2-(-1))(z-a)(z-b) = (z^2+1)(z-a)(z-b) såklart

En ekvation kan inte ha en faktor. Det som menas med mitt första stycke är att vänsterledet i ekvationen som är ett polynom går att faktorisera. Om ekvationen p(z)=0 har en rot i z=a så kan man veta att z minus denna rot är en av faktorerna i polynomet.

Mitt andra stycke går att bortse ifrån, det fyller inte så mycket funktion. Jag ville mest relatera till nollproduktmetoden från Matte 2 som delvis är det som att man gör den här faktoriseringen bygger på.