komplexa tal

Jursla skrev :

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med denna uppgift.

Bestäm alla komplexa tal som uppfyller $\left\{\begin{array}{l}\left|z-3i\right|=2\\ z+\overline{z}=2\end{array}\right.$

Jag började med att sätta z=x+yi

så i den undre ekvationen får jag $x+yi+x-yi=2x$ och 2x=2 x=1

i den övre får jag |x+yi-3i|=2

men jag har problem att komma ifrån det till svaret.

Svaret ska bli $z=1+i\left(3\pm \sqrt{3}\right)$

Du vet att x = 1.

Då kan du förenkla ekvationen  | x + yi - 3i | = 2 till | 1 + (y-3)i | = 2

Absolutbeloppet för ett komplext tal a + bi är ju $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Så det är bara att räkna. Du får en enkel andragradsekvation med y som obekant.

Först står en cirkel med centrum i 3i och radien 2. Sen står en vertikal linje genom x=1. Tydligen blir det två skärningspunkter.

ska jag alltså sätta $\sqrt{1^2+(y-3{)}^2}$ =2

jag ritade upp cirkeln och fick den i y=3 x=0 och med radie 2 då ser jag att linjen från x=1 skär cirkeln i två punkter men jag får inget exakt värde

Rätt! Kvadrera och lös ut y.

Jursla skrev :

 

ska jag alltså sätta 12+(y-3)2 =2

jag ritade upp cirkeln och fick den i y=3 x=0 och med radie 2 då ser jag att linjen från x=1 skär cirkeln i två punkter men jag får inget exakt värde

Ja ekvationen är rätt. Lös den och du får ut det rötta svaret på exakt form.

Cirkeltänket är rätt även det men det ger inte direkt svaret på exakt form.