Komplexa tal (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Har du hört om de Moivres formel?

Berätta gärna så jag förstår.

Läser att man skriver ekvationens båda led på den polära formen z=r(cos v + i sin v).

Hmm ger då z^3=r^3(cos 3v + i sin 3v).

Hur skrivs då -64i i poär form?

santas_little_helper skrev:
Läser att man skriver ekvationens båda led på den polära formen z=r(cos v + i sin v).
Hmm ger då z^3=r^3(cos 3v + i sin 3v).
Hur skrivs då -64i i poär form?

Ja det stämmer.

Rita in talet -64i i det komplexa talplanet.

Vilket är talets argument (vinkel)?
Vilket är talets belopp (längd)?

Du kan läsa mer om polär form här.

Jag föredraratt göra så här

z³ = r(cos(v+2npi)+isin(v+2npi)

där v är beloppet av z³

och v är argumentet för z³

då gäller att $z = \sqrt[3]{r} (\cos (v / 3 + 2 n p i / 3) - i \sin (v / 3 + 2 n p i / 3))$

(jag drog tredjeroten ur bägge led, för komplexa tal motsvarar det att dra tredjeroten ur beloppet och dela argumentet med 3)

där n kan vara 0,1 eller 2

vad är beloppet av -64i?

vad är argumentet?

santas_little_helper skrev:
Berätta gärna så jag förstår.

Visst, om du börjar med att tala om vad det är du inte förstår.

Ture ställde en fråga till dig, som du borde kunna svara "ja" eller "nej" på. Ditt svar på denna fråga påverkar hur vi kommer at förklara för dig, eftersom vi vill att du skall förstå.

Måste jag rita upp det komplexa talplanet eller inte? Förlåt lite trög.

vadå lägger jag in -64 på 'v' i den formeln? förstår inte

Förstår inte hans frågor. Vad beloppet är och vad argumentet är i det här fallet

Rita in -64i i det komplexa talplanet.

Dra ett streck från -64i till origo.

hur långt är strecket? Motsvarar beloppet.

vilken vinkel är det mellan strecket och positiva reella axeln? Motsvarar argumentet

Aldrig fått lära mig hur man gör det.

santas_little_helper skrev:
Aldrig fått lära mig hur man gör det.

Då kan du lära dig det här.

santas_little_helper skrev:
Aldrig fått lära mig hur man gör det.

Det är svårt för oss att hjälpa dig när vi inte vet hur mycket du känner till om komplexa tal.

Titta igenom alla dessa avsnitt på matteboken.se.

Berätta för oss vilka delar du inte hänger med på.

Har fått en komplettering på en tidigare uppgift som vi har gått igenom för ca 2månader sen i klassen. Men glömt bort det mest för vi har gått vidare in på annat. Va jag kan minnas så har vi inte gått igenom det komplexa talplanet så undrar då därför om det finns något annat sätt att lösa uppgiften på.

santas_little_helper skrev:
Har fått en komplettering på en tidigare uppgift som vi har gått igenom för ca 2månader sen i klassen. Men glömt bort det mest för vi har gått vidare in på annat. Va jag kan minnas så har vi inte gått igenom det komplexa talplanet så undrar då därför om det finns något annat sätt att lösa uppgiften på.

Det är möjligt att det finns något annat sätt, men det är i så fall krångligare än att lära sig den rätta metoden, d v s komplexa talplanet, polära koordinater och de Moivres formel. Alla tre momenten ingår i kursen Ma4, så det är något du skall lära dig.

En fullt fungerande metod är att räkna i rektangulär form. Ansätt z = (a + i*b) så har du:

$(a+ib)^3 = -64i$

Detta leder till ekvationssystemet

$a^3-3ab^2 = 0$

samt

$3a^2b-b^3=-64$

som du får härja ut.

Jag rekommenderar dock att du istället följer Tures (med fleras) råd och räknar i polär form.

Tänkte typ nåt i den här stilen som jag hittade i matte4-boken som exempel som jag tror är med rätta siffror. Är inte helt säker på hur jag ska använda dom.

z^3 =-64i

z^3=64(cos270grader+i sin 270grader)

3v=270gr + n *360gr --> v=67,5+n * 90gr

och r^3 =64 --> r=2

z1=2(cos90gr + i sin 90gr)

z2=2(cos180gr + i sin 180gr)

z3=2(cos270gr + i sin 270gr)

santas_little_helper skrev:
Tänkte typ nåt i den här stilen som jag hittade i matte4-boken som exempel som jag tror är med rätta siffror. Är inte helt säker på hur jag ska använda dom.
z^3 =-64i
z^3=64(cos270grader+i sin 270grader)
3v=270gr + n *360gr --> v=67,5+n * 90gr
och r^3 =64 --> r=2
z1=2(cos90gr + i sin 90gr)
z2=2(cos180gr + i sin 180gr)
z3=2(cos270gr + i sin 270gr)

Du är på rätt väg men har räknat fel...

r blir inte 2. Testa 2*2*2=8..

3v=270 +n360 => v = 270/3 +n360/3

blir r=8 då alltså.

Förlåt en yrvaken fråga -- de Moivres i all ära, men är inte dess kusin Eulers formel välkommen i matte 4? En sån här uppgift löser sig själv utan ansträngning i formuleringen $- 64 i = 4^{3} * e^{\frac{3 π}{2} i}$ .

Får kolla med läraren.

Men annars:

z^3 =-64i

z^3=64(cos270grader+i sin 270grader)

3v=270 + n360 --> v=270/3 +n360/3

och r^3 =64 --> r=2*2*2=8

z1=2(cos90gr + i sin 90gr)

z2=2(cos180gr + i sin 180gr)

z3=2(cos270gr + i sin 270gr)

Är det fortfarande fel?

Ja det är fel.

Trdjeroten ur 64 vad blr det?

Vinkeln, 270/3 =90. Ok

360/3 = 120.

Vinklarna blir alltså vad? För de tre lösningarna?

4 va?

Så:

z^3 =-64i

z^3=64(cos270grader+i sin 270grader)

3v=270 + n360 --> v=270/3 +n360/3

och r^3 =64 --> r=2*2*2=8

z1=4(cos90 + i sin 90)

z2=4(cos180 + i sin 180)

z3=4(cos270 + i sin 270)

Eller?

Du skriver att r^3 = 64 leder till att r = 2*2*2 = 8, vilket är fel. Sedan skriver du ändå det korrekta beloppet r = 4.

Du skriver att v = 270/3 + n*360/3, vilket är rätt, men sen skriver du ändå de felaktiga argumenten v2 = 180 och v3 = 270.

Du har att v = 90 + n*120.

Vad blir då v när n = 0? När n = 1? När n = 2?

Ska det vara r^4=64 -->4?

Trodde man då skulle börja med 90 grader på z1 och sen ökar med 90. Då har jag förstått fel. För det står ju v=270/3.

aaaah ska den öka 120 grader? z1=90, z2 =210 och z3= 330

z1=4(cos90 + i sin 90)

z2=4(cos210 + i sin 210)

z3=4(cos330 + i sin 330)

eller?

santas_little_helper skrev:
z1=4(cos90 + i sin 90)
z2=4(cos210 + i sin 210)
z3=4(cos330 + i sin 330)
eller?

Nej, nu har du löst ekvationen z³=64i, inte z³=-64i som du borde ha gjort. Det komplexa talet 64i har argumentet 90^o. Vilket argument har det komplexa talet -64i?

EDIT: Du ha rätt, jag tänkte fel. Jag glömde dela argumentet med 3.

Det är just det här jag inte fattar eller hänger med på. Försökte hänga med i bokens exempel men tappade bort mig

Utgå från origo, d v s z=0=0+0i. Var ligger talet z=-i=0-1i? Beskriv med antalet steg åt höger/vänster respektive upp/ner.

Kan ju inte det komplexa talplanet. Tyvärr inget vi gått igenom.

Det ingår i kursen, du behöver lära dig det. Läs om det på matteboken.se

Jag tänkte fel. Se edit ovan.

Så alltså ä detta rätt:

z^3 =-64i

z^3=64(cos270grader+i sin 270grader)

3v=270 + n360 --> v=270/3 +n360/3

och r^4 =64 --> r=4

z1=4(cos90 + i sin 90)

z2=4(cos210 + i sin 120)

z3=4(cos330 + i sin 330)

Ja, förutom att du skrev r^4 = 64 istället för r^3 = 64.

Som en övning så kan du skriva svaren i rektangulär form. (z = a + i*b)

Tack!! Förstår nu