Komplexa tal (Matematik/Universitet)

Visa hur du har räknat! Vi har inte en chans att hjälpa dig om vi inte får veta exakt vad det är du har gjort. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Ska det bli heltal?

Uppgiften kan tolkas på flera sätt.
Har du original-texten?

Jag ser bara ett sätt att tolka uppgiften som den är skriven, men det ju finns ett obegränsat antal lösningar:

Alla komplexa tal $z$ sådana att $|Arg(z)-Arg(5+14i)|=\frac{\pi}{4}$

I vilken tråd hittade du uppgiften?

Yngve skrev:
Jag ser bara ett sätt att tolka uppgiften som den är skriven, men det ju finns ett obegränsat antal lösningar:
Alla komplexa tal $z$ sådana att $|Arg(z)-Arg(5+14i)|=\frac{\pi}{4}$
I vilken tråd hittade du uppgiften?

Jag har inte så svårt att se även:

$a r g (z) + a r g (5 + 14 i) = \frac{π}{4}$

Affe Jkpg skrev:
Yngve skrev:
Jag ser bara ett sätt att tolka uppgiften som den är skriven, men det ju finns ett obegränsat antal lösningar:
Alla komplexa tal $z$ sådana att $|Arg(z)-Arg(5+14i)|=\frac{\pi}{4}$
I vilken tråd hittade du uppgiften?
Jag har inte så svårt att se även:
$a r g (z) + a r g (5 + 14 i) = \frac{π}{4}$

Jag behöver nog en bild för att förstå den formeln.

Uppgiften lyder exakt så som det står ovan. Jag fick det till två fall:

1. z är I första kvadranten, under 5+14i.

2. z är I andra kvadranten, över 5+14i

fall 1:

Om man ritar upp uppgiften kan man se att arg(5+14i)-arg(z) = $\frac{π}{4}$

$a \tan (\frac{14}{5}) - a r g z = \frac{π}{4}$

$a r g z = a \tan (\frac{14}{5}) - \frac{π}{4}$

Jag fokuserar på fall 1 eftersom att fall två är nästan exakt likadan.

Svaret är: Z = t(-9+19i) eller Z = t(19+9i) där t>0

Laguna skrev:
Affe Jkpg skrev:
Yngve skrev:
Jag ser bara ett sätt att tolka uppgiften som den är skriven, men det ju finns ett obegränsat antal lösningar:
Alla komplexa tal $z$ sådana att $|Arg(z)-Arg(5+14i)|=\frac{\pi}{4}$
I vilken tråd hittade du uppgiften?
Jag har inte så svårt att se även:
$a r g (z) + a r g (5 + 14 i) = \frac{π}{4}$
Jag behöver nog en bild för att förstå den formeln.

Yngve har tolkat som uppgifts-skrivaren, medan jag även kunde tolka uppgiften som:

Affe Jkpg skrev:
Jag har inte så svårt att se även:
$a r g (z) + a r g (5 + 14 i) = \frac{π}{4}$
Jag behöver nog en bild för att förstå den formeln.
Yngve har tolkat som uppgifts-skrivaren, medan jag även kunde tolka uppgiften som:

Jag förstår inte hur din ekvation hänger ihop med uppgiften.

Däremot förstår jag din figur, som istället illustrerar $Arg(5+14i+z)=\frac{\pi}{4}$ .

Är Yngve med på att vektorn k(1+i) har vinkeln $\frac{π}{4}$ ?

Affe Jkpg skrev:
Är Yngve med på att vektorn k(1+i) har vinkeln $\frac{π}{4}$ ?

Ja det är jag med på. Och jag tror att jag förstår hur du kopplar figuren till uppgiften.

Men jag förstår inte sambandet mellan din figur och ekvationen $Arg(z)+Arg(5+14i)=\frac{\pi}{4}$ .

Jag förstår inte heller på vilket sätt denna ekvation relaterar till uppgiften.

Jag får ett fult ekvationssystem:

vet inte hur jag ska göra på ett annat sätt, det ekvationssystemet är riktigt jobbigt

Porkshop skrev:
vet inte hur jag ska göra på ett annat sätt, det ekvationssystemet är riktigt jobbigt

Räkna med polär form i stället. Beloppet är godtyckligt (utom 0), argumentet är det enda intressanta.

Jo men då får jag argz = atan2 sen blir det inte heltal. Fattar inte

Ja det ekvationssystemet ser jobbigt ut.

Det är enklare att lösa uppgiften med hjälp av en figur och ett resonemang.

Börja med att rita vektorn (5, 14). Den har riktningskoefficienten 14/5.

Rita sedan en likbent triangel med toppvinkel $\frac{\pi}{2}$ i punkten (5, 14) och basvinklar $\frac{\pi}{4}$ i origo och den okända punkten $z$ .

Ena benet i triangeln utgörs av vektorn (5, 14) och det andra benet är en vektor från (5, 14), vinkelrät mot första vektorn snett ner åt höger.

Eftersom vektorerna är vinkelräta är riktningskoefficienten för andra benet lika med -5/14. Eftersom vektorerna ska vara lika långa hamnar andra vektorns spets i (5+14, 14-5) = (19, 9).

Basen i triangeln blir alltså vektorn (19,9) och det okända talet $z$ är därmed $19+9i$

Kommer du vidare själv nu?

---------

Samma lösningsmetod kan användas för fall 2, där $Arg(z)-Arg(5+14i)=\frac{\pi}{4}$

Porkshop skrev:
Jo men då får jag argz = atan2 sen blir det inte heltal. Fattar inte

Alltså vaddå heltal? Du har inte visat någon del av uppgiften där det står något om heltal.

Yngve skrev:
Ja det ekvationssystemet ser jobbigt ut.
Det är enklare att lösa uppgiften med hjälp av en figur och ett resonemang.
Börja med att rita vektorn (5, 14). Den har riktningskoefficienten 14/5.
Rita sedan en likbent triangel med toppvinkel $\frac{\pi}{2}$ i punkten (5, 14) och basvinklar $\frac{\pi}{4}$ i origo och den okända punkten $z$ .
Ena benet i triangeln utgörs av vektorn (5, 14) och det andra benet är en vektor från (5, 14), vinkelrät mot första vektorn snett ner åt höger.
Eftersom vektorerna är vinkelräta är riktningskoefficienten för andra benet lika med -5/14. Eftersom vektorerna ska vara lika långa hamnar andra vektorns spets i (5+14, 14-5) = (19, 9).
Basen i triangeln blir alltså vektorn (19,9) och det okända talet $z$ är därmed $19+9i$
Kommer du vidare själv nu?
---------
Samma lösningsmetod kan användas för fall 2, där $Arg(z)-Arg(5+14i)=\frac{\pi}{4}$

Yngves metod är ett jättesnyggt sätt att få fram ETT komplext tal som är en lösning till uppgiften, men för att få fram "de z som bildar vinkeln..." så måste man tänka på att alla tal som ligger på en rät linje mellan origo och "Yngves punkt" och vidare bortåt stämmer med förutsättningarna (och likadant för lösningen i den andra kvadranten).

Smaragdalena skrev:
Yngve skrev:
...
Kommer du vidare själv nu?
...
Yngves metod är ett jättesnyggt sätt att få fram ETT komplext tal som är en lösning till uppgiften, men för att få fram "de z som bildar vinkeln..." så måste man tänka på att alla tal som ligger på en rät linje mellan origo och "Yngves punkt" och vidare bortåt stämmer med förutsättningarna (och likadant för lösningen i den andra kvadranten).

Därav ovanstående kommentar 😉

svaren i boken är heltal

Porkshop skrev:
svaren i boken är heltal

Om svaret ska vara heltal så måste det stå något i uppgiften som gör att det ska vara heltal. Att titta på svaren för att förstå uppgiften är bakvänt.

fattar inte riktigt, men varför funkar inte detta?

Du borde kunna använda additions- respektive subtraktionsformlerna för sinus och cosinus för att beräkna argumenten för de båda värdena på $z$ , och sedan är alla absolutbelopp tillåtna.

Jovisst, men det svaret blir inte ett heltal vilket det star I facit. där star det: t(-9+19i) eller t(19+9i) där t>0

Om jag skriver cos(atan(14/5)- $π / 4$ )) så får jag inte detta heltal

Vad gör jag för fel?

Porkshop skrev:
Jovisst, men det svaret blir inte ett heltal vilket det star I facit. där star det: t(-9+19i) eller t(19+9i) där t>0
Om jag skriver cos(atan(14/5)- $π / 4$ )) så får jag inte detta heltal
Vad gör jag för fel?

Du gör inte fel. Skillnaden är att ditt svar är uttryckt i polär form och svaret i facit är uttryckt i rektangulär form. Om den ena formen innehåller heltal så måste inte den andra göra det. Dessutom går det inte att direkt jämföra svaren med varandra eftersom din parameter $t$ inte är samma som parametern $t$ i facit.

Exempel 1:

Det komplexa talet $1+i$ är skrivet på rektangulär form och innehåller endast heltalsdelar.
Samma tal på polär form skrivs $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ , dvs inga heltalsdelar.

Exempel 2:

Det komplexa talet $e^{2i}$ är skrivet på polär form och innehåller heltalsdelarna 1 och 2.
Samma tal på rektangulär form skrivs (avrundat) $-0.42+0.91i$ , dvs inga heltalsdelar.

Jag vet, men om jag omvandlar mitt svar till rektangulär form får jag inte det som star I facit

Porkshop skrev:
Jag vet, men om jag omvandlar mitt svar till rektangulär form får jag inte det som star I facit

Jo, om du väljer ett visst värde på ditt $t$ så får du till exempel det komplexa talet $19+9i$ .

Din parameter $t$ är inte samma som parametern $t$ i facit.

Kalla din parameter för $k$ istället och om du vill försäkra dig om att ditt svar ger samma lösningsmängd så kan du försöka hitta sambandet mellan $t$ och $k$ .

Så de valde 19+9i I facit eftersom att de var de första heltalen som förekom?

Porkshop skrev:
Så de valde 19+9i I facit eftersom att de var de första heltalen som förekom?

Jag vet inte hur de tänkte eftersom jag inte har sett lösningen som leder fram till svaret i facit.

Men jag antar att de, istället för att använda polär form, resonerade sig fram till svaret med hjälp av geometri, på samma sätt som jag gjorde i detta lösningsförslag.

Och då faller heltalen 19 och 9 ut naturligt.

Porkshop skrev:
Så de valde 19+9i I facit eftersom att de var de första heltalen som förekom?

Kanhända, eller så använde de Yngves smarta metod.

Ok två sista frågor.

1) Hur länkade du till din post och inte sidan själv, utan nedscrollad till dit du ville

2) om jag hade svarat $t e^{a \tan (14 / 5) - \frac{π}{4}} d ä r t > 0$ hade det varit lika bra som att svara så som de gjorde I facit, om man skrev ett prov?

Porkshop skrev:
Ok två sista frågor.
1) Hur länkade du till din post och inte sidan själv, utan nedscrollad till dit du ville

Gå till den kommentar du vill länka till

På telefon: Tryck och håll ner "#Permalänk" under kommentaren. En länk sparas i urklipp.
På dator: Högerklicka på "#Permalänk" under kommentaren. Välj "kopiera länkadress" eller liknande.

2) om jag hade svarat $t e^{a \tan (14 / 5) - \frac{π}{4}} d ä r t > 0$ hade det varit lika bra som att svara så som de gjorde I facit, om man skrev ett prov?

Det beror nog på läraren och vilken typ av förmåga du förväntas visa upp med lösningen.

Ditt svar är rätt, men det går att skriva på enklare form, så du kanske missar några A-poäng på att svara på exponentiell polär form.

Du kan för övrigt med hjälp av Smaragdalenas tips i detta svar hyfsat enkelt kunna skriva om ditt svar till rektangulär form och då får du fram heltalen 19 och 9, samt "skalfaktorn" mellan $t$ och $k$ , som blir $\frac{1}{\sqrt{442}}$ om jag har räknat rätt.

----------------------------

Men förstod du det lösningsförslag baserat på geometri som jag tipsade om tidigare?

Jag ska kolla igenom det igen, men förstod inte första gången jag läste igenom, men när jag använda subtraktionsformlerna får jag detta; vilket jag inte vet vad jag ska göra med!

Av det geometriska lösningsförslaget förstod jag så här långt, hur vet du att triangeln är lilbent?

Porkshop skrev:
Jag ska kolla igenom det igen, men förstod inte första gången jag läste igenom, men när jag använda subtraktionsformlerna får jag detta; vilket jag inte vet vad jag ska göra med!

Dina uträkningar verkar rätt.

Ett naturligt nästa steg är att ta fram numeriska värden på cos(a) och sin(a).

Du kan då använda att arctan(a) är vinkeln mellan kateten med längd 5 och hypotenusan i den rätvinkliga triangel där katetlängderna är 5 och 14. Använd Pythagoras sats för att beräkna hypotenusans längd l.

Då blir cos(a) = 5/l och sin(a) = 14/l.

Porkshop skrev:
Av det geometriska lösningsförslaget förstod jag så här långt, hur vet du att triangeln är lilbent?

Du kan skapa en likbent triangel. Eftersom basvinkeln mellan 5+14i och a+bi är $\frac{\pi}{4}$ så kommer även den andra basvinkeln att vara lika stor och toppvinkeln vid hörnet (5, 14) blir då rät eftersom triangelns vinkelsumma är $\pi$ .

Så här tänkte jag:

Då kommer alla (nollskilda) komplexa tal som ligger på den blåa linjen att uppfylla villkoret.

Ok, nu fattar jag. Men hur kommer du fram till att det andra hörnet är 19 +9i?

Porkshop skrev:
Ok, nu fattar jag. Men hur kommer du fram till att det andra hörnet är 19 +9i?

Utgå från punkten (5, 14), gå i riktningen -5/14, dvs 5 steg nedåt, 14 steg åt höger. Då blir detta ben lika långt som benet från origo till (5, 14) och triangeln blir alltså likbent.

Ok, nu klarade jag uppgiften. Tack!

Men hur skulle jag göra denna metoden om den inte bekvämligt bildade två vinkälräta lutningar?

Läste igenom tråden och all teori som presenterats är ju korrekt på sitt sätt. Jag vill dock belysa att en mer rak metod som jag anser att man som elev ska kunna efter matematik 4 är följande. Vridning medurs eller moturs med pi/4 radianer samt skalning med en faktor r ger de eftersökta komplexa talen.

Ok, jag instämmer. Det där skulle jag absolut kunna. Men det var ett tag sedan jag räknade matte4!

Tack för all hjälp!

Greenberg skrev:
Läste igenom tråden och all teori som presenterats är ju korrekt på sitt sätt. Jag vill dock belysa att en mer rak metod som jag anser att man som elev ska kunna efter matematik 4 är följande. Vridning medurs eller moturs med pi/4 radianer samt skalning med en faktor r ger de eftersökta komplexa talen.

Ja det här var ju en mycket snyggare lösning är den med komplexa tal på polär form.

En liten kommentar är bara att det som efterfrågas är alla de komplexa tal som uppfyller villkoret, inte endast de som har heltaliga real- eller imaginärdelar, så alla reella k > 0 är tillåtna i lösningen.

Yngve skrev:
Greenberg skrev:
Läste igenom tråden och all teori som presenterats är ju korrekt på sitt sätt. Jag vill dock belysa att en mer rak metod som jag anser att man som elev ska kunna efter matematik 4 är följande. Vridning medurs eller moturs med pi/4 radianer samt skalning med en faktor r ger de eftersökta komplexa talen.
Ja det här var ju en mycket snyggare lösning är den med komplexa tal på polär form.
En liten kommentar är bara att det som efterfrågas är alla de komplexa tal som uppfyller villkoret, inte endast de som har heltaliga real- eller imaginärdelar, så alla reella k > 0 är tillåtna i lösningen.

Helt korrekt Yngve. Tänkte mer presentera de lösningar som har en "trevlig" form samt att det diskuterats en del kring heltal för real- och imaginärdelarna :) Det som jag varit lite snabb med i lösningen som jag ska redigera är ju att k > 0 eftersom r > 0.

Editerad lösning som ger de komplexa talen som efterfrågas och där Real- och imaginärdelarna är heltal. Som Yngve poängterade så var inte detta ett krav i den ursprungliga frågan så alla reella värden r > 0 ger samtliga komplexa tal som uppfyller kravet.

kan du hjälpa mig med d här snälla

Gör en ny tråd