komplexa tal

Hej!

Vi definierar talet $i$ som det tal som uppfyller $i^2=-1$, och därav följer att $i=\sqrt{-1}$.

Det som du missar i ditt "inlägg" är att regeln $\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$ endast gäller om $a,b>0$.

Moffen skrev:

Hej!

Vi definierar talet $i$ som det tal som uppfyller $i^2=-1$, och därav följer att $i=\sqrt{-1}$.

Det som du missar i ditt "inlägg" är att regeln $\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$ endast gäller om $a,b>0$.

Lika med noll också. 

Laguna skrev:

Moffen skrev:

Hej!

Vi definierar talet $i$ som det tal som uppfyller $i^2=-1$, och därav följer att $i=\sqrt{-1}$.

Det som du missar i ditt "inlägg" är att regeln $\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$ endast gäller om $a,b>0$.

Lika med noll också. 

Japp, det har du rätt i, kan tyvärr inte redigera det nu men det stämmer.

Moffen skrev:

Hej!

Vi definierar talet $i$ som det tal som uppfyller $i^2=-1$, och därav följer att $i=\sqrt{-1}$.

Det som du missar i ditt "inlägg" är att regeln $\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$ endast gäller om $a,b>0$.

Hej!

Nej, det följer inte att $i=\sqrt{-1}$ bara för att $i^2=-1$; det finns ytterligare ett "tal" som har den egenskapen, nämligen "talet" $-\sqrt{-1}$.

Det går inte längre att säga att "$\sqrt{-1}$ är det positiva tal som har egenskapen att $(\sqrt{-1})^2=-1$" -- på samma sätt som man definierar exempelvis $\sqrt{2}$ som det positiva tal sådant att $(\sqrt{2})^2 = 2$ -- eftersom det är meningslöst att prata om "positiva" komplexa tal. 

Det är alltså helt fel att göra som flera läroböcker gör när de definierar $i$ som det komplexa tal som uppfyller $i^2=-1$, som om det bara fanns ett komplext tal med den egenskapen. 

Den korrekta definitionen av $i$ är inte via sambandet $i^2=-1$.

Albiki skrev:

Det är alltså helt fel att göra som flera läroböcker gör när de definierar $i$ som det komplexa tal som uppfyller $i^2=-1$, som om det bara fanns ett komplext tal med den egenskapen. 

Den korrekta definitionen av $i$ är inte via sambandet $i^2=-1$.

Hur ser den korrekta definitionen ut, och vad gör man för fel om man utgår från x² = -1?

Min (tydligen naiva) uppfattning är att man konstaterar att x² = -1 saknar lösning bland de reella talen, och då inför ett tal i som uppfyller ekvationen. Det följer att -i också uppfyller ekvationen. Räknelagarna i övrigt är uppfyllda (fast man kan inte definiera en ordning). Det visar sig att talsystemet sedan är fullständigt i den meningen att man inte behöver införa ytterligare nya tal (men man kan stryka eller ändra axiom och därmed införa nya tal om man vill). Man kan inte identifiera vilken rot som är i och vilken är -i, så det komplexa tal som uppfyller ekvationen är förstås fel. Men stämmer inte det övriga?