Komplexa tal

Louiger skrev:

Frågan i boken:

Ekvationen z^3-5iz^2-(9+i)z-2+6i=0 har roten 2i. Lös ekvationen fullständigt. 

Jag har provat med polynomdivition som gav mig z^2-7iz+5-i med resten 16i därifrån vet jag inte hur jag ska gå vidare.

 Du har dividerat fel, eftersom resten måste vara noll för att $0+i2$ ska vara en rot till polynomet $z^3-(0+i5)z^2-(9+i)z-(2-i6)$; om du dividerar rätt ska du få andragradspolynomet $z^2-(0+i3)z-(3+i)$.

Louiger skrev:

Frågan i boken:

Ekvationen z^3-5iz^2-(9+i)z-2+6i=0 har roten 2i. Lös ekvationen fullständigt. 

Jag har provat med polynomdivition som gav mig z^2-7iz+5-i med resten 16i därifrån vet jag inte hur jag ska gå vidare.

 

Jag provade att rita och tänkte att rötterna borde ligga symmetriskt dvs om en rot är r=2 vinkel=pi/2 borde de andra två ligga på 5pi/4 och 7pi/4. Men vid insättning funkade inte det. Inte heller -2i är en rot (har inte alltid komplexa tal två rötter +- bi?).

Jag har provat dela upp imaginärdel och realdel inte heller de gjorde mig klokare.

Kladdpappren är massvis och jag tog bara med det jag trött mest på.

Svaret är: 2i, -1+i, 1+2i

De gör mig bara mer förvirrad eftersom r då borde te sig olika (eller?, för de ska väl vara samma), de är olika när jag ritar iaf. Det känns som det är något väsentligt jag missat när de gäller komplexa tal, trots att jag läst, kollat på föreläsningar och gjort varenda uppgift om de komplexa talen. Finns det något mer jag kan göra för att fatta?!?!

Om polynomet har reella koefficienter så gäller att de komplexa rötterna förekommer i komplexkonjugerade par.

Detta polynom har inte (enbart) reella koefficienter.

Eftersom du vet att en rot är $z = 2i$ så vet du att $(z - 2i)$ är en faktor i polynomet. Polynomdivision bör då ge dig ett andragradspolynom utan rest.

En annan metod är att ansätta en faktorisering $(z-2i)(a{z}^2+bz+c)$, multiplicera ihop och identifiera koefficienter.

Du kan ju redan på en gång se att $a=1$ eftersom polynomets $z^3$-term har koefficienten 1.

Albiki skrev:

Louiger skrev:

Frågan i boken:

Ekvationen z^3-5iz^2-(9+i)z-2+6i=0 har roten 2i. Lös ekvationen fullständigt. 

Jag har provat med polynomdivition som gav mig z^2-7iz+5-i med resten 16i därifrån vet jag inte hur jag ska gå vidare.

 Du har dividerat fel, eftersom resten måste vara noll för att $0+i2$ ska vara en rot till polynomet $z^3-(0+i5)z^2-(9+i)z-(2-i6)$; om du dividerar rätt ska du få andragradspolynomet $z^2-(0+i3)z-(3+i)$.

Jag provade igen och fick samma. Vad gör jag för fel?

Louiger skrev:

Jag provade igen och fick samma. Vad gör jag för fel?

Enkelt slarvfel i första subtraktionen. Du subtraherade $z^3$-termerna men adderade $z^2$-termerna.

Det ska bli $-5i{z}^2-(-2i{z}^2)=-3i{z}^2$.

Yngve skrev:

Louiger skrev:

Frågan i boken:

Ekvationen z^3-5iz^2-(9+i)z-2+6i=0 har roten 2i. Lös ekvationen fullständigt. 

Jag har provat med polynomdivition som gav mig z^2-7iz+5-i med resten 16i därifrån vet jag inte hur jag ska gå vidare.

 

Jag provade att rita och tänkte att rötterna borde ligga symmetriskt dvs om en rot är r=2 vinkel=pi/2 borde de andra två ligga på 5pi/4 och 7pi/4. Men vid insättning funkade inte det. Inte heller -2i är en rot (har inte alltid komplexa tal två rötter +- bi?).

Jag har provat dela upp imaginärdel och realdel inte heller de gjorde mig klokare.

Kladdpappren är massvis och jag tog bara med det jag trött mest på.

Svaret är: 2i, -1+i, 1+2i

De gör mig bara mer förvirrad eftersom r då borde te sig olika (eller?, för de ska väl vara samma), de är olika när jag ritar iaf. Det känns som det är något väsentligt jag missat när de gäller komplexa tal, trots att jag läst, kollat på föreläsningar och gjort varenda uppgift om de komplexa talen. Finns det något mer jag kan göra för att fatta?!?!

Om polynomet har reella koefficienter så gäller att de komplexa rötterna förekommer i komplexkonjugerade par.

Detta polynom har inte (enbart) reella koefficienter.

Eftersom du vet att en rot är $z = 2i$ så vet du att $(z - 2i)$ är en faktor i polynomet. Polynomdivision bör då ge dig ett andragradspolynom utan rest.

En annan metod är att ansätta en faktorisering $(z-2i)(a{z}^2+bz+c)$, multiplicera ihop och identifiera koefficienter.

Du kan ju redan på en gång se att $a=1$ eftersom polynomets $z^3$-term har koefficienten 1.

 Tack! Jag hade försökt med båda metoderna, men måste missat någon stans. Nu blev de rätt med båda metoderna. Tack för hjälpen!

Yngve skrev:

Louiger skrev:

Visa föregående citat

Jag provade igen och fick samma. Vad gör jag för fel?

Enkelt slarvfel i första subtraktionen. Du subtraherade $z^3$-termerna men adderade $z^2$-termerna.

Det ska bli $-5i{z}^2-(-2i{z}^2)=-3i{z}^2$.

 Tack för hjälpen! Nu blev allt rätt. Såg inte det själv och räknade de fel varje gång jag räknade om.