Komplexa ekvationer

De använder Eulers formel. :)

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel 

Smutstvätt skrev:

De använder Eulers formel. :)

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel 

Okej, tack!
Har kollat igenom stencilen min professor försett mig med men ingenstans nämner han Eulers formel..

För han har löst uppgiften på det här sättet: 

$z^4=81e^{i\mathrm{\pi }} >\hspace{0.17em}{z}_k =\hspace{0.17em}3e^{\frac{\mathrm{i}(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi })}{4}}$

Och utifrån att jag kollar på det han gjort så ser jag att 4:an i nämnaren representerar $\sqrt[4]{81}$, så fyran blir nämnare, och resultatet blir då 3:an. Det jag har svårt att förstå är hur -81 blir $81e^{i\mathrm{\pi }}$..

Här förutsätter jag att du är bekant med binomiska ekvationer?

Tänk dig ett tal i det komplexa planet där Realdelen är -81 och Imaginärdelen är 0. Det talet ligger 81 "steg" (absolutbeloppet) från (0,0) och sedan vinkeln $\mathrm{\pi }$ från positiva Realaxeln. Då kan vi skriva det talet på polär form just så här $81e^{i\mathrm{\pi }}$. 

Gjorde ett lösningsförslag nedan. Då kanske du förstår bättre vart saker kommer från?

$$\begin{gathered} z=\left|z\right|e^{i\theta } \\ {z}^4={\left|z\right|}^4{e}^{i4\theta } \\ -81=\left|-81\right|e^{i arg(-81)} \\ =81e^{i(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }) } \\ {z}^4=-81 \\ \Rightarrow {\left|z\right|}^4{e}^{i4\theta }=81e^{i(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }) } \\ \left\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}^4=81\\ 4\theta =\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=3\\ \theta =\frac{\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }}{4}\end{array}\right. \\ z=\left|z\right|e^{i\theta } \\ =3e^{\frac{\mathrm{i}(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi })}{4}} \end{gathered}$$

Groblix skrev:

Här förutsätter jag att du är bekant med binomiska ekvationer?

Tänk dig ett tal i det komplexa planet där Realdelen är -81 och Imaginärdelen är 0. Det talet ligger 81 "steg" (absolutbeloppet) från (0,0) och sedan vinkeln $\mathrm{\pi }$ från positiva Realaxeln. Då kan vi skriva det talet på polär form just så här $81e^{i\mathrm{\pi }}$. 

Gjorde ett lösningsförslag nedan. Då kanske du förstår bättre vart saker kommer från?

 

$$\begin{gathered} z=\left|z\right|e^{i\theta } \\ {z}^4={\left|z\right|}^4{e}^{i4\theta } \\ -81=\left|-81\right|e^{i arg(-81)} \\ =81e^{i(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }) } \\ {z}^4=-81 \\ \Rightarrow {\left|z\right|}^4{e}^{i4\theta }=81e^{i(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }) } \\ \left\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}^4=81\\ 4\theta =\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=3\\ \theta =\frac{\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }}{4}\end{array}\right. \\ z=\left|z\right|e^{i\theta } \\ =3e^{\frac{\mathrm{i}(\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi })}{4}} \end{gathered}$$

Jodå känner till binomiska ekvationer! Lösningsförslaget hjälpte faktiskt en del. 
Om jag drar ett exempel som är ett tentaexempel: 

$z^{139} + 23i = 0$

Då kommer detta bli $z^{139} = -23i$

Detta är dock inte lika självklart men $z=r*e^{i\mathrm{\pi }} och -23i = 23*e^{\frac{\mathrm{i}3\mathrm{\pi }}{2}}$eller ?

då är alltså $$\begin{gathered} {(r*e^{i\mathrm{v}})}^{139} = 23e^{\frac{\mathrm{i}3\mathrm{\pi }}{2}} >> \\ {r}^{139} * e^{i*139\mathrm{v}} = 23e^{\frac{\mathrm{i}3\mathrm{\pi }}{2}} \\ {r}^{{139}^{ }} = 23 \left(Beloppet\right) \\ 139\mathrm{v}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+ n * 2\mathrm{\pi } \left(\mathrm{argumentet}\right) \\ \mathrm{r} = \sqrt[139]{23} \\ \mathrm{v} = \frac{3\mathrm{\pi }}{278}+\mathrm{n} * \frac{2\mathrm{\pi }}{139} \end{gathered}$$

Stämmer detta? 

Det tycker jag. Du får alltså 139 st lösningar (fås genom 139 olika värden på n som ger olika vinklar). Dock kan jag inte tänka mig att du måste skriva ut alla 139 :)

Groblix skrev:

Det tycker jag. Du får alltså 139 st lösningar (fås genom 139 olika värden på n som ger olika vinklar). Dock kan jag inte tänka mig att du måste skriva ut alla 139 :)

Se där! Kul, då känns det bättre inför tentan imorgon :D

Tack för din hjälp!!