komplexa ekvationer

Välkommen till Pluggakuten!

Att lösa andragradsekvationer med komplexa koefficienter är inte det enklaste, som du märker. Dt kan vara värt ett försök att kvadratkomplettera istället. 

Behöver du mer hjälp sp visa hur långt du har kommit och fråga igen.

Börja med något enklare.

Hur löser man ekvationen z² = w = a + ib (a,b är reella tal).

Du kan säkert lösa denna ekvation om b = 0, så vi antar att b $\ne$0 i fortsättningen.

Vi kan ansätta z = x + iy (x, y är reella).

(x + iy)² = a + ib

x² - y² + 2ixy = a + ib, vilket vi kan skriva om som två reella ekvationer

x² - y² = a   (1)

2xy = b   (2)

Lös ut y från (2) och sätt in i (1).

x² - b²/(4x²) = a, multiplicera båda led med x²,

x⁴ - ax² -b²/4 = 0.

Sätt t = x².

t² - at - b²/4 = 0, vilket ger

t =  $\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$, notera att vi kan förkasta den negativa roten då t = x² (som inte kan vara negativt då x är reellt). Således får vi att

x = $\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$.

Jag lämnar som övning att räkna ut y.

Svar: y = $\pm sgn\left(b\right)\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$.

Sedan titta på Smaragdalenas tips.