Komplexa ekvationer

Hej och välkommen till pluggakuten! 

testa att sätta in ditt svar i ursprungsekvation

Vad gällande $\frac{z}{(1-z)}=1-5i$ så måste du ställa z själv, du behöver inte direkt byta $z$ mot $a+bi$

den sista är en andragradsekvation så pq eller kvadrat komplettering är en bra start

Ryszard skrev:

Hej och välkommen till pluggakuten! 

testa att sätta in ditt svar i ursprungsekvation

Vad gällande $\frac{z}{(1-z)}=1-5i$ så måste du ställa z själv, du behöver inte direkt byta $z$ mot $a+bi$

den sista är en andragradsekvation så pq eller kvadrat komplettering är en bra start

 Hej!

stort tack för ditt svar!

Till den andra ekvationen har jag försökt ställa z själv men får inte till det, något tips på hur jag ska gå tillväga?

Visa hur du har försökt, så kan vi hjälpa dig vidare!

Smaragdalena skrev:

Visa hur du har försökt, så kan vi hjälpa dig vidare!

 Har försökt få z själv med olika metoder. Först har jag försökt multiplicera båda leden med (1-z) men fick problem med 5i i högra leder som gjorde det svårt att få z själv utan i:et. Jag provade även att multiplicera vänstra ledet med (1+z)/(1+z). Men lyckades inte få till det då heller eftersom det inte blir ett konstant reellt tal i nämnaren då jag ej vet vad z är.

VISA hur du har försökt, så kan vi hjälpa dig att hitta var det eventuellt har blivit fel. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är usla på takeläsning.

Har du testat med att multiplicera båda sidor med nämnarens konjugat? EDIT: troligen onödigt, bättre att bara multiplicera med nämnaren.

Förstår inte riktigt tipsen här, det räcker väl att multiplicera båda leden med faktorn $(1-z)$ och sedan sätta real- respektive imaginärdel lika i VL och HL. Ger två samband för $a$ och $b$ givet

$z=a+b\cdot i$

Här är mina tanker kring z/(1-z)=1-5i

Multiplicerar båda leden med (1-z) och får:

z=1-5i-z-5zi

=> 2z = 1-5i-5zi

=>(2+5i)z =1 - 5i

=> z=(1-5i)/(2+5i) = ((1-5i)*(2-5i))/((2+5i)*(2-5i)) 

=> z=(2-5i-10i-25)/(4+25)= -23/29 - 15i/29

=> a=-23/29    b=-15/29

Men när jag provade sätta in dessa värden fick jag z/(1-z)=-1/3 - 5i/3 vilket inte stämmer. Vet inte vart det gått fel eller om jag har rätt värden men räknade fel när jag skulle testa

För (2-i)z+8(z^2)=0 använde jag metoden för komplexa andragradsekvationer med kvadratkomplettering och substituition:

z^2+z*(2-i)/8 = 0

(z+(2+i)/16)^2 = z^2+z*(2-i)/8 + ((2+i)/16)^2

=> z^2+z*(2-i)/8 = (z+(2+i)/16)^2 - ((2+i)/16)^2 = 0

=> (z+(2+i)/16)^2 = ((2+i)/16)^2

w= z+(2+i)/16 => w^2 = ((2+i)/16)^2

=> w=(2+i)/16

w = z+(2+i)/16 => z= w - (2+i)/16 = (2+i)/16 - (2+i)/16 = 0 

Jag får alltså fram z=0 vilket är en lösning men det ska finnas en till som jag inte vet hur jag ska nå

L098 skrev:

Här är mina tanker kring 2/(1-z)=1-5i

Multiplicerar båda leden med (1-z) och får:

z=1-5i-z-5zi

Hej! det blir teckenfel när du multiplicerar $(1-z)(1-5i)=1-z-5i+5iz$

Gällande andragradsekvationen så skulle jag använda mig av ett en av rötterna är kända och bryta ut den, alltså nollproduktsmetoden

Kom på att det finns en annan lösning som är väldigt smidig.

Sätt:

$f(z)=\frac{z}{1-z}$, $z_1=1-5i$

Bestäm inversa funktionen till $f$:

$z=\frac{f}{1-f}$

$(1-f)z=f$

$f(1+z)=z$

$f=\frac{z}{1+z}$

Alltså gäller att:

$f^{-1}(z)=\frac{z}{1+z}$

Applicera inversa funktionen på VL och HL:

$f^{-1}(f(z))=f^{-1}(z_1)$

$z=\frac{z_1}{1+z_1}=\frac{1-5i}{1+1-5i}=...$

Tack för all hjälp! Lyckades lösa det nu!