15 svar

138 visningar

Komplexa andragradsekvationer

Hej!

Jag ska lösa $z^{2} + (3 - 2 i) z - 6 i = 0$

Först kvadratkompletterar jag och får $(z + (\frac{3 - 2 i}{2}))^{2} - 6 i - \frac{5}{4}$

Därefter sätter jag w = $z + (\frac{3 - 2 i}{2})$

och $w^{2}$ blir då $6 i + \frac{5}{4}$

Tar reda på absolutbeloppet för $w^{2}$ = $\sqrt{6^{2} + {\frac{5}{4}}^{2}} = \sqrt{36 + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{601}{16}} = \frac{\sqrt{601}}{4}$

Skapar ett ekvationssystem av allt detta

$a^{2} - b^{2} = \frac{5}{4} 2 a b = 6 a^{2} + b^{2} = \frac{\sqrt{601}}{4}$

Och det är nu det blir problem då ekv 1 adderat med ekv 3 blir $2 a^{2} = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{601}}{4}$ och a borde vara ett tal utan särskilt många decimaler för att jag ska få rätt svar enligt facit, men hur jag än räknar blir det bara en massa decimaler i denna ekvation. Jag misstänker att jag gjort fel i kvadratkompletteringen men jag vet inte vad. Någon som kan hjälpa?

Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.

Bubo skrev:
Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.

Jag förstår inte hur det påverkar min uträkning?

qazedc skrev:
Bubo skrev:
Kvadraten av (3-2i)/2 är inte ett reellt tal.
Jag förstår inte hur det påverkar min uträkning?

w^2 får jag eftersom z+(3-2i/2) är w, så får jag w i kvadrat -6i - 5/4. Flyttar över -6i - 5/4 till höger led och får w i kvadrat = 6i + 5/4. Ser nu att det är lite otydligt, men vi har fått lära oss att substituera på detta sätt och sedan jämföra realdelar och imaginära delar. w^2=6i + 5/4 och w^2 är även a^2-b^2+2abi . Jämför realdelar och imaginära delar och få a^2-b^2 = 5/4 och 2ab = 6

Titta på din kvadratkomplettering igen.

Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.

AndersW skrev:
Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.

Insåg att jag skrev lite otydligt, läs min redigering på föregående kommentar

Jo men de 5/4 du subtraherar i din kvadratkomplettering, Vad är de? Vad kommer de ifrån? Det skall vara $(\frac{3 - 2 i}{2})^{2}$ men detta får jag till något helt annat.

AndersW skrev:
Jo men de 5/4 du subtraherar i din kvadratkomplettering, Vad är de? Vad kommer de ifrån? Det skall vara $(\frac{3 - 2 i}{2})^{2}$ men detta får jag till något helt annat.

$z^{2} + (3 - 2 i) z - 6 i = 0$

$(z + \frac{(3 - 2 i)}{2})^{2} = z^{2} + 2 \times z \times (\frac{3 - 2 i}{2}) + (\frac{9 + 4 i^{2}}{4}) = z^{2} + z (3 - 2 i) + (\frac{9 - 4}{4}) = z^{2} + (3 - 2 i) z + \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} + k = - 6 i k = - 6 i - \frac{5}{4}$

Detta är väl helt galet, men det är så jag har gjort på övriga tal och det har fungerat

Det är fortfarande så att $(\frac{3 - 2 i}{2})^{2} \neq \frac{9 + 4 i^{2}}{4}$ . Du saknar en komplexterm i detta. Det är bara detta ( tror jag) sedan är din metod korrekt.

Hej Q!

Du påstår att $(3-2i)^2$ är samma sak som $9-4$ , vilket är fel.

AndersW skrev:
Det är fortfarande så att $(\frac{3 - 2 i}{2})^{2} \neq \frac{9 + 4 i^{2}}{4}$ . Du saknar en komplexterm i detta. Det är bara detta ( tror jag) sedan är din metod korrekt.

Ok, fattar det nu men får fortfarande inte ihop svaret. Är kvadratkompletteringen (z+((3-2i)/2))^2 -3i -5/4 ??

Skrev ett utförligt svar om mina uträkningar men sidan uppdaterades och mitt svar försvann och nu är jag för frustrerad för att skriva om det. Har suttit med detta i över en timme nu men jag får inte z=2i eller z=-3. Mitt absolutbelopp blir 13/4 vilket bara resulterar i kvadratrötter i mina ekvationer i den senaste uträkningen jag gjorde. blir galen

Du kan räkna på ett papper och lägga in en bild.

qazedc skrev:
AndersW skrev:
Det gör ju att du får helt andra siffror att jobba med. De -5/4 som du subtraherar när du kvadratkompletterar skall vara men är inte ((3-2i)/2)^2.
Insåg att jag skrev lite otydligt, läs min redigering på föregående kommentar

qazedc, det står i Pluggakutens regler att man inte får redigera ett inlägg som har blivit besvarat (däremot är det OK att komplettera det med t ex en rättelse). Detta beror på att om du ändrar ditt inlägg och tar bort det som var fel, så blir tråden väldigt svårbegriplig. /moderator

Ja, kvadratkompetteringen är korrekt nu. Jag såg ett fel till du gjort i dina ekvationer som nog resulterar i dina rötter. Den tredje ekvationen är ju pythagoras sats, bör det inte vara absolutbeloppet av (w)^2 i HL?

Glöm inte sedan att det är w du räknat ut, inte z.

Hej Q!

Kvadratkomplettering av andragradspolynomet ger

$z^2+2cz-6i = (z+c)^2 - (c^2+6i)$

där $c = 1.5-i$ . Notera att $c^2 = (1.5-i)^2 = 1.5^2 - 3i + i^2 = 1.25 - 3i$ så andragradsekvationen som ska lösas är

$w^2 = 1.25+3i$

där $w = z+c$ .

Skrivs andragradsekvationen på rektangulär form med $w = a+ib$ får man följande ekvation.

$(a^2-b^2)+i2ab = 1.25 + 3i$ .

För att detta ska vara möjligt måste realdelarna vara lika och imaginärdelarna vara lika, vilket ger ett ekvationssystem.

$a^2-b^2=1.25$

och $2ab = 3$ .

Modulen (absolutbeloppet) till det komplexa talet $w^2$ ska vara lika med modulen till det komplexa talet $1.25+3i$ vilket ger ekvationen

$|w^2| = |w|^2 = a^2+b^2 = \sqrt{1.25^2 + 3^2} = \sqrt{10.5625}$ .

Detta medför att

$2a^2 = 1.25 + \sqrt{10.5625} \iff a^2 = 0.625+0.5\sqrt{10.5625}=2.25$

och

$2b^2 = \sqrt{10.5625}-1.25\iff b^2 = 0.5\sqrt{10.5625}-0.625 = 1$

vilket betyder att $a = 1.5$ eller $a=-1.5$ och $b=1$ eller $b=-1$ . Tillsammans med kravet att $2ab = 3$ ser man att om $a=1.5$ så måste $b=1$ och om $a=-1.5$ så måste $b=-1$ .

Resultat: Det komplexa talet $w$ kan anta två möjliga värden, $1.5+i$ eller $-(1.5+i)$ , vilket medför att det komplexa talet $z$ kan anta något av de två möjliga värdena $1.5+i-(1.5-i) = 2i$ eller $-1.5-i-(1.5-i)=-3$ .

Svara

Visa senaste svar