Komplex tal eller engelska :)?
Hej igen!
Nu läser jag lite Better Explained, och jag vet inte riktigt om min problem är med engelska eller matte, jag bara kan inte riktigt fatta vad han menar med en komplex tal division är att rotera med den motsats vinkel och dividera med magnituden.
Asså jag tror att han menar att vi roterar i motsats riktning och dividerar med vektorn storlek.. Men varför funkar det?
Har du lärt dig komplexa tal i polär form än? Det förklarar det hela.
Med din kapacitet föreslår jag att du läser allt om komplexa tal på t.ex. Matteboken.se.
Där finns det mesta kortfattat och förståeligt förklarat.
Kom sedan hit och be oss förklara det du inte förstår.
Men i korthet, relaterat till din ursprungsfråga:
Multiplikation av två komplexa tal z1 och z2 innebär multiplikation av talens absolutbelopp och addition av talens argument.
Om z = z1*z2 så är
- Abs(z) = Abs(z1)*Abs(z2)
- Arg(z) = Arg(z1) + Arg(z2)
Division av två komplexa tal z1 och z2 innebär division av talens absolutbelopp och subtraktion av talens argument.
Om z = z1/z2 så är
Abs(z) = Abs(z1)/Abs(z2)
Arg(z) = Arg(z1) - Arg(z2)
Så man kan se på dessa operationer som en längdförändring och en vridning.
I exemplet ur boken, dvs z1/z2, där 3+4i och z2 = 1+i så har vi att:
- Abs(z2) = Abs(1+i) = Sqrt(2)
- Arg(z2) = Arg(1+i) = pi/4.
Så division med (1+i) innebär att dividera beloppet med Sqrt(2) och subtrahera argumentet med pi/4.
(För att fortsätta måste du veta vad ett komplexkonjugat är.
Om z är ett komplext tal z = a+bi så är komplexkonjugatet till z z-konjugat = a-bi.
Dvs realdelen är densamma men imaginäedelen har omvänt tecken.
Då gäller att Abs(z) = Abs(z-konjugat) och att Arg(z) = -Arg(z-konjugat))
Nu kan vi fortsätta:
Abs(z1/z2) = Abs(z1)/Abs(z2) = Abs(z1)/Sqrt(2) = Abs(z1)*Sqrt(2)/2 = Abs(z1)*Abs(z2-konjugat)*(1/2)
Arg(z1/z2) = Arg(z1) - Arg(z2) = Arg(z1) - pi/4 = Arg(z1) + (-pi/4) = Arg(z1) + Arg(z2-konjugat)
Så att dividera z1 med (1+i) ger samma resultat som att multiplicera z1 med (1-i) och sedan dividera med 2.
Du kan nog generalisera denna metod om du vill. Vad behöver du ändra då?
Om sedan detta är mer intuitvt än någon annan metod kan ju dock ifrågasättas ...
Andra intressanta fall:
Multiplikation och division med i:
Eftersom Abs(i) = 1 och Arg(i) = pi/2 så innebär
- z*i att z vrids pi/2 i positiv (moturs) riktning.
- z/i att z vrids pi/2 i negativ (medurs) riktning.
Kvadrering av ett komplext tal:
z^2 innebär en kvadrering av absolutbeloppet och en fördubbling av argumentet.
- Abs(z^2) = (Abs(z))^2
- Arg(z^2) = 2*Arg(z)
Hej Daja!
Se formler och exempel nedan på polär form:
Tack tack tack!!
Ok, ska börja med matteboken :). Jag har bara läst dom 4/5 första sidorna i kapitlet om komplexa tal i matte 4 samt better explained... Så allt är ny och spännande!
I'll be back!
Jag har börjat läsa på Matteboken tills kapitlet Räkna i polär form, jag måste säga att det känns klokrent!
Man undrar även varför vi läser inte komplexa talen innan vi läser sinus och cosinus? Det verkar räka för de beräckningarna vi hade i fysik 1...
