Komplex potens av komplext tal

Är det här tänkt som en kluring? Jag utgår ifrån att du vet svaret och låter andra klura på den.

Hej!

Jag tänkte att folk som inte vet mycket om komplexa tal kan få klura på frågan, medan de som vet mer kan få dela med sig av sitt kunnande i en öppen diskussion kring frågan.

Albiki

Om inte det är någon speciellt du menar med "symbolen" så bör det vara ganska enkelt att visa ditt påstående. Potenslagar och det faktum att $i^2=-1$ ger att

${\left(2^i\right)}^i=2^{i·i}=2^{i^2}=2^{-1}=\frac{1}{2}=0.5 + i0.$

Frågan är om det är så enkelt.

Man brukar definiera komplexa potensfunktioner via den komplexa logaritmfunktionen:

$z^a={\left(e^{\log \left(z\right)}\right)}^a=e^{a\log \left(z\right)}$

Lite luddigt kan man säga att den komplexa logaritmfunktionen definieras (med e som bas) genom att man kan räkna "som vanligt" med reella tal, trots att man har komplexa tal. Genom att skriva z på polär form har man då

$\log \left(z\right)=\log \left(r{e}^{i\theta }\right)=\ln \left(r\right)+i\theta$

Enligt detta blir då z^a

$z^a=e^{a\log \left(z\right)}=e^{a\left[\ln \left(r\right)+i\theta \right]}$

Vad kan man då säga om vi tar z = 2 och a = i?

Om det komplexa talet $z = re^{i \theta_0}$, så kan det även skrivas

$z = re^{i \theta_0 + i 2 \pi n}$ för något $n \in \mathbb{Z}$

För att logaritmfunktionen ska vara "single-valued", så måste man välja en "branch-cut" och tillhörande värdemängd.

Principalvärdet av logaritmen, $Log(z) = \ln r + iArg (z)$ där $Arg (z)$ är principalvärdet av argumentet. Principalvärdet av argumentet ligger i $(-\pi, \pi]$.

Så, $Log (z)$ borde bli $Log (z) = \ln 2 + i0$??

Hej!

Det är tydligen möjligt att definiera den komplexa logaritmfunktionen på oändligt många olika sätt (lika många sätt som det finns heltal). Varje definition ger ett unikt värde på vad det komplexa talet $2^{i}$ är. Kan man på ett meningsfullt sätt fånga in alla dessa möjligheter i en enda beskrivning av vad $2^{i}$ är?

Frågan är om potensregeln $(2^{i})^{i} = 2^{i\cdot i}$ verkligen gäller? Om den gör det så blir resultatet det som Lirim skrivit.

Albiki

Så,

Om $w = 2^i = e^{i \cdot (\ln 2 + i 2\pi n)} = e^{i \ln 2} e^{- 2 \pi n}$ för $n \in \mathbb{Z}$

$|w| = e^{- 2 \pi n}$ och $arg(w) = \ln 2 + 2 \pi k$ för $k \in \mathbb{Z}$

$(2^i)^i = e^{i \cdot (\ln |w| + i arg (w))}$

Eller är jag ute och cyklar?