komplex och reell lösning

Hej

jag har en uppgift där jag ska ta fram den komplexa och reella lösningen och skulle behöva lite hjälp.

Uppgiften är:

Ta fram den generella komplexa lösningen av x`=Ax och hitta den generella reella lösningen.

A= $|\begin{matrix} 30 & 64 & 23 \\ - 11 & - 23 & - 9 \\ 6 & 15 & 4 \end{matrix}|$

Jag har fått fram egenvärdena till $5 \pm 2 i$ och 1.

Egenvektorerna blev $V_{1} = |\begin{matrix} 23 - 34 i \\ - 9 + 14 i \\ 3 \end{matrix}|, V_{2} = |\begin{matrix} 23 + 34 i \\ - 9 - 14 i \\ 3 \end{matrix}|, V_{3} = |\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}|$

Jag försökte ta fram den generella komplexa lösningen genom att sätta $X = C_{1} |\begin{matrix} 23 - 34 i \\ - 9 + 14 i \\ 4 \end{matrix}| e^{5 + 2 i} + C_{2} |\begin{matrix} 23 + 34 i \\ - 9 - 14 i \\ 3 \end{matrix}| e^{5 - 2 i} + C_{3} |\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}| e$

sedan är jag inte riktigt säker hur man ska gå vidare, på något sätt ska man få in cos och sin men jag är inte säker på hur.

Jag tror att du ska använda eulers formel att:

$e^{a + b i} = e^{a} (\cos (b) + i \sin (b))$

För $e^{5 + 2 i}, e^{5 - 2 i}$ och multiplicera in i vektorerna, förenkla och sedan separera reell och imaginär delen.

okej men jag förstår inte riktigt hur man ska multiplicera med cos och sin.

Om man tar den första vektorn får vi då $C_{1} |\begin{matrix} 23 - 34 i \\ - 9 + 14 i \\ 4 \end{matrix}| e^{5 + 2 i} (\cos 2 t + i \sin 2 t) = |\begin{matrix} 23 \cos 2 t - 34 i \sin 2 t \\ - 9 \cos 2 t + 14 i \sin 2 t \\ 4 \end{matrix}|$

Det där får du nog titta närmare på för det stämmer inte, använd eulers formel på rätt sätt och multiplicera in den faktorn i vektor (på rätt sätt).

Svara

Visa senaste svar