komplex integral

Hej

jag har en fråga angående komplexa integraler, jag har från ett svarsalternativ sett att man satte:

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log (x)}{x^{2} + 1} d x + \int_{- \infty}^{0} \frac{\log |x|}{x^{2} + 1} d x = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\log (x)}{x^{2} + 1} d x$

men kan man alltid bara addera ihop integralerna om den ena går från -oändlighet till noll och den andra från noll till oändlighet eller blev det just så i detta fallet?

Det har att göra med att den högra integranden är jämn, d.v.s. $f(-x)=f(x)$ , och då har integralen på ett intervall $[-\infty,0]$ samma värde som integralen på intervallet $[0,\infty]$ . Därför går det att skriva:

$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\log(x)}{x^2+1}\ dx+\int_{-\infty}^0\frac{\log|x|}{x^2+1}\ dx=\int_0^\infty\frac{\log(x)}{x^2+1}\ dx+\int_0^\infty\frac{\log(x)}{x^2+1}\ dx=2\int_0^\infty\frac{\log(x)}{x^2+1}\ dx$

okej men om vi hade haft log(x) och inget absolutbelopp hade vi inte kunnat addera ihop dom eftersom vi då hade kunnat få ett negativt resultat om x är negativt?

$\log(x)$ utan absolutbelopp är inte definierat med reella tal för negativa $x$ -värden. Utan absolutbeloppen skulle integralen alltså vara odefinierad.

Svara

Visa senaste svar