komplex integral

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:

Beräkna integralen $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)} d x$

Man börjar som ett första steg med att skriva om till $\frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x d x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)}$

Sedan ska man använda att $R e e^{i x} = \cos x$ och skriva integralen som

$R e (\frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i x} d x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)})$

Så långt är det ganska klart men jag förstår inte helt övergången till $\int_{- \infty}^{\infty}$ kan vi skriva om integralen $\int_{0}^{\infty}$ till $\int_{- \infty}^{\infty}$ genom att lägga till 1/2 framför integralen?

För att gå vidare har vi sedan formeln $\int_{τ R} f (z) d z = \int_{- R}^{R} f (x) d x + \int_{τ} f (z) d z$

efter att ha räknat ut resterna till $R e s_{i} = \frac{1}{6 i e} R e s_{2 i} = \frac{- 1}{12 i e^{2}}$

får vi integralen $\int_{τ R} f (z) d z = 2 π i (\frac{1}{6 i e} - \frac{1}{12 i e^{2}}) = \frac{π}{6 e^{2}} (2 e - 1)$ men svaret ska bli $\frac{π}{12 e^{2}} (2 e - 1)$

jag förstår inte riktigt var det blev fel

Till att börja med så är ju integraler arean under kurvan så om integralen är symmetrisk kan du öka området ifrån 0 till inf genom att att halvera värdet på integralen och gå ifrån -inf till inf.

Sedan verkar du få en faktor 1/2 fel i svaret. Tog du med halvan som du lade till när du ökade intervallet som du integrerar över?

Edit: Ställ upp vad integraler du löste med Residy grejerna skall vara lika med!

nej, jag tror det är där det blev fel eftersom jag satte 1/2 framför integralen och sedan återkom jag aldrig dit när jag fick fram svaret, så man ska alltså lägga till faktorn 1/2 till svaret och då får vi ju rätt svar.

Som Egocarpo nämner följer omskrivningen med intervallen av att integranden är jämn, och då kommer integralen från $-\infty$ till $\infty$ vara dubbelt så stor som integralen från $0$ till $\infty$ . Det är detta som möjliggör omskrivningen av intervallet, vilken vi behöver för att kunna beräkna integralen med hjälp av en kurvintegral.

Du har beräknat dina residyer rätt, men du har glömt att dela med två och ta realdelen av beloppet eftersom den sökta integralen var lika med hälften av realdelen av integralen du beräknat med residyer. (Nu har ju den integralen inte någon imaginärdel, så det där med realdel spelar ingen roll, men det är ändå viktigt att ha med)

Du måste även som i den här tråden visa att integralen längs kurvan som du kallar för $\tau$ går mot noll när $R\to\infty$ .

Svara

Visa senaste svar