Komplex funktion - Tolkning (Matematik/Universitet)

Har du i linjär algebra stött på att 2x2-matriser / linjära avbildningar kan visualiseras som att de transformerar eller förvränger planet.?

Du har exempelvis rotationer (alla punkter i planet roteras), reflektioner (alla punkter byter sida om en linje), inversioner, osv.

Komplexa funktioner kan ofta också visualiseras på det viset.

Ta exempelvis:

$f(z)= i z$

och fundera på vad denna funktion gör geometriskt. Att multiplicera med $i$ motsvarar ju att rotera en komplex vektor en fjärdedels varv (90 grader), så den här funktionen kan tolkas geometriskt som att den roterar hela talplanet 90 grader medurs.

Ta komplexkonjugering

$f(z) = \bar z$

Detta motsvarar ju en reflektion i reella axeln.

Ta avslutningsvis avbildningen

$f(z) = (1 + i)z$ är något som

Att multiplicera med $1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ motsvarar att förlänga $z$ med en faktor $\sqrt{2}$ och att rotera dem 45 grader. Wolframalpha kan visualisera dessa transformationer med nyckelordet "complex map"

https://www.wolframalpha.com/input/?i=complex+map+f%28z%29+%3D+%281+%2B+i%29z

och även om de kräver lite genomgång för att tolkas så kan du testa att mata in lite olika funktioner och se hur transformationerna "ser ut".

Engelska "mapping" heter avbildning på svenska.

Laguna skrev:
Engelska "mapping" heter avbildning på svenska.

Tack för era förklaringar!Blir rätt om jag formulerar mig så här?

När det gäller den geometriska tolkningen av C som det komplexa planet är en komplex funktion då en avbildning av det komplexa planet till sig själv.

Den geometriska tolkning tänkte jag så här " avbildningen bevarar vinklar och formen".

mon_12 skrev:
Laguna skrev:
Engelska "mapping" heter avbildning på svenska.
Tack för era förklaringar!Blir rätt om jag formulerar mig så här?
När det gäller den geometriska tolkningen av C som det komplexa planet är en komplex funktion då en avbildning av det komplexa planet till sig själv.
Den geometriska tolkning tänkte jag så här " avbildningen bevarar vinklar och formen".

Jag undrar fortfarande varför u=u(x,y)?

Det säger bara att u (som är realdelen av talet du får ut) beror av x och y, alltså real- och imaginärdel av talet du satte in. T.ex. om f(z) = z^2, då blir resultatet av att sätta in z = x+iy:

$w = (x+iy)^2 = x^2 -y^2 + 2i xy$ .

Realdelen är nu $x^2 - y^2$ , vilket är en funktion av x och y. Så: $u(x,y) = x^2 - y^2$ . På motsvarande sätt är $v(x,y) = 2xy$ . Exakt vad u och v är beror förstås på hur funktionen f ser ut, men att $u = u(x,y)$ betyder bara att x och y är variabler i uttrycket för u.

(Sedan kan det förstås också vara så att u eller v är konstanta funktioner med avseende på en eller båda variabler, men det gör inget. Det går bra, på samma sätt som att f(x) = 2 är ett tillåtet skrivsätt även om funktionen inte beror av x)

Skaft skrev:
Det säger bara att u (som är realdelen av talet du får ut) beror av x och y, alltså real- och imaginärdel av talet du satte in. T.ex. om f(z) = z^2, då blir resultatet av att sätta in z = x+iy:
$w = (x+iy)^2 = x^2 -y^2 + 2i xy$ .
Realdelen är nu $x^2 - y^2$ , vilket är en funktion av x och y. Så: $u(x,y) = x^2 - y^2$ . På motsvarande sätt är $v(x,y) = 2xy$ . Exakt vad u och v är beror förstås på hur funktionen f ser ut, men att $u = u(x,y)$ betyder bara att x och y är variabler i uttrycket för u.
(Sedan kan det förstås också vara så att u eller v är konstanta funktioner med avseende på en eller båda variabler, men det gör inget. Det går bra, på samma sätt som att f(x) = 2 är ett tillåtet skrivsätt även om funktionen inte beror av x)

Tack så mycket för din förklaring. Hur läser man u(x,y)? Blir det funktion u av variablerna x och y? När det gäller geometriska tolkningen som texten skriver, vad betyder den?

"f(x)" uttalas ofta "f av x", och på motsvarande sätt kan "u(x, y)" uttalas "u av x och y".

Det komplexa talplanet är en geometrisk tolkning av mängden av komplexa talen. Eftersom vi är så vana vid koordinatsystem är kanske det steget såpass kort att man inte tänker på att det är en tolkning man gör. Men tallinjen är en geometrisk tolkning av de reella talen, och på samma sätt är det komplexa talplanet en geometrisk tolkning av de komplexa talen.

Och om man spinner vidare på det spåret och ska förstå vad en komplex funktion är, då är det något som tar det komplexa talplanet och förvränger det på nåt sätt. Sträcker ut, roterar, speglar, böjer osv, så att punkter hoppar från en plats till en annan enligt någon regel (funktionen). En bild ur boken "Visual Complex Analysis" kanske förtydligar:

Skaft skrev:
"f(x)" uttalas ofta "f av x", och på motsvarande sätt kan "u(x, y)" uttalas "u av x och y".
Det komplexa talplanet är en geometrisk tolkning av mängden av komplexa talen. Eftersom vi är så vana vid koordinatsystem är kanske det steget såpass kort att man inte tänker på att det är en tolkning man gör. Men tallinjen är en geometrisk tolkning av de reella talen, och på samma sätt är det komplexa talplanet en geometrisk tolkning av de komplexa talen.
Och om man spinner vidare på det spåret och ska förstå vad en komplex funktion är, då är det något som tar det komplexa talplanet och förvränger det på nåt sätt. Sträcker ut, roterar, speglar, böjer osv, så att punkter hoppar från en plats till en annan enligt någon regel (funktionen). En bild ur boken "Visual Complex Analysis" kanske förtydligar:

Tusen tack för förklaringen!