Komplex Fourier serie - Differentialekvation

Bestäm alla lösningar $y$ med perioden $2 π$ , som inte är identisk 0, till ekvationen

$y'' (t) + 5 y (t) = y (t + π), t \in ℝ$ .

Jag har inte löst en uppgift av denna typ innan så vet inte hur jag ska tänka, men antar att man ska överföra funktionen till en komplex fourierserie på något vis.

Ja, det borde vara en bra idé att ansätta en lösning som en fourierserie med period 2π.

Vad får du då?

Jag har inte gjort det än, vet inte vad jag ska stoppa in när jag beräknar mitt Cn, är det (t+pi)? som är mitt f(x) alltså?

$y(t) = \sum c_n e^{int}$

så

$y(t+\pi) = \sum c_n e^{in(t+\pi)}$

Hur blir det med derivatorna?

$y' (t + π) = {\sum (i n + π i n) c_{n} e^{i n (t + π)}}_{}^{} y'' (t + π) = {\sum (i n + π i n) (i n + π i n) c_{n} e^{i n (t + π)}}_{}^{} = = \sum (- n^{2} - 2 n^{2} π - π^{2} n^{2}) c_{n} e^{i n (t + π)}$

Derivatorna skulle vara vid tiden t.

(Det blev inte helt rätt deriverat heller med π-termen.)

Oj, det blev fel ja. Om jag har tolkat dig rätt får jag nu det till

$y' (t) = i n \sum c_{n} e^{i n t}$ samt

$y'' (t) = - n^{2} \sum_{}^{} c_{n} e^{i n t}$

vilket ger $- n^{2} \sum_{}^{} c_{n} e^{i n t} + 5 \sum_{}^{} c_{n} e^{i n t} = \sum_{}^{} c_{n} e^{i n (t + π)}$

Då får du prova att förenkla

$e^{in(t+\pi)}=e^{int}\cdot e^{in\pi}=...$

Svara

Visa senaste svar