Komplex exponent

Backa till definitionen: Vad betyder "$(-1)^i$"? Är det "minus ett gånger sig självt, i gånger"? Det är inte en hjälpsam definition, för det leder bara till frågan "hur utför man ett imaginärt antal multiplikationer?". En mer generell definition av potenser (komplex bas och komplex exponent) är

$w^z = e^{z\ln(w)}$

Varför? Därför att detta ger samma resultat i de "enkla" fallen, då allt är reellt och snällt (t.ex. är $2^3 = e^{3\ln(2)} = 8$), samtidigt som det låter oss beräkna komplexa potenser. Men, har vi inte bara skrivit om potensen till en krångligare, som fortfarande har en komplex exponent? Jo, men när basen är e kan vi använda Eulers formel, så nu går potensen att tolka (åtminstone i betydelsen att den kan beräknas).

Så, i ditt fall:

$(-1)^i = e^{i\cdot\ln(-1)}$

Nytt problem. Vad är logaritmen av -1? Du använde själv Eulers identitet $e^{i\pi} = -1$, och här kan logaritmen bara läsas av: $i\cdot \pi$ (om basen är krångligare än -1 kan man ändå skriva om den till formen $re^{i\theta}$ och ta logaritmen av det). Så:

$(-1)^i = e^{i\cdot\ln(-1)} = e^{i\cdot i \cdot \pi} = e^{-\pi} \approx 0.043$

Men, du skrev även att $-1 = e^{-i\pi}$, vilket också stämmer. Här ser det ut som att logaritmen är $-i\pi$ istället. Använder vi den istället får vi att

$(-1)^i = e^{i\cdot\ln(-1)} = e^{i\cdot (-i \cdot \pi)} = e^{\pi} \approx 23.14$

Och det var svaret du letade efter. Logaritmen har oändligt många rätta värden, pga att $-1 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi)$. Cosinus och sinus är ju periodiska, så inget hindrar oss från att slänga på eller dra bort valfritt antal perioder. Varje nytt värde på vinkeln ger ett nytt värde på logaritmen, vilket i sin tur ger ett nytt (också rätt) värde på potensen.

EDIT: Kallade 23.14 fel svar först, fel av mig! Har försökt förtydliga flervärd-heten ovan.

Tack för förklaringen.

Finns det något sätt att komma fram till det här resultatet utan att använda Eulers formula? Finns det andra broar mellan det komplexa och reella planen?

Det är jag som gjort fel försökte ändra men gick inte. Det ska vara:

${\left(e^{i\mathrm{\pi }}\right)}^i = 0.043..$

Man kan undersöka problemet numeriskt också. Funktionen $e^x$ kan definieras på olika sätt, ett är via dess Taylorserie:

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots$

Då kan man skriva ett kort datorprogram som beräknar den summan, till önskvärd precision. I det programmet kan man prova att sätta $x=i \pi$ och $x=-i \pi$, så ser man att båda dessa val ger en summa som går mot -1. Därför är både $i \pi$ och $-i \pi$ giltiga värden av $\ln(-1)$.

Använd sedan samma program till att beräkna $e^{i\ln(-1)}$, för båda dessa val av värden på ln(-1). Dvs, låt först $x = i \cdot i\pi = -\pi$ och se vad summan blir (0.043) och prova sedan $x = i \cdot -i\pi = \pi$ och kolla summan (23.14).

Det kan vara bra att känna till att principalgrenen vanligtvis utgår från tal med ett argument i intervallet

$-\pi<\mathrm{arg}(z)\leq\pi$

Notera sträng olikhet till vänster.

Det innebär att talet $-1$ med principalargument tecknas $e^{i\pi}$

Man får naturligtvis använda andra grenar, t.ex. $-1=e^{-i\pi}$ men man måste vara konsekvent, särskilt i ekvationer där likhet ska råda.

Wolfram alpha säger:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%5E%C3%AE

$$\begin{gathered} {-1}^i = e^{i\mathrm{\pi }} = true \to {\left({-1}^i\right)}^i = -1 \\ Med variabel byte -1 = e^{i\mathrm{\pi }} = {\left(e^{i\mathrm{\pi }}\right)}^i =0,043... men 0,43...\ne -1 \end{gathered}$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%5Ei+%3D+e%5E%28ipi%29

I den första har du gjort ett i med ^ ovanför, vilket jag inte tror den tolkar som den imaginära enheten.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%5E%28i%29

Nu står det:

Assuming i is the imaginary unit |. Svaret blir forftfarande -1.

Aha. Ja, det är för att minustecknet inte ingår i potensen. $-1^i$ tolkar den som $-(1^i)$, och $1^i$ är 1.