Komplex andragradsfunktion

1PLUS2 skrev :

$$\begin{gathered} z^2+4z+1=0 \\ {\left(z+2\right)}^2-1+4i=0 \\ {W}^2=1-4i \\ \left(a+bi\right)= 1-4i \\ {a}^2-b^2+2abi=1-4i \\ \left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=1\\ 2ab=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

 

Vad har jag gjort för fel? Nu när jag ska ta fram en hjälpekvation så får jag:

$$\begin{gathered} \left|W^2\right|=\left|a-4i\right| \\ \left|W^2\right|={\left|W\right|}^2= {\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=a^2+b^2 \end{gathered}$$

Kontrollera din kvadratkomplettering precis i början.

1PLUS2 skrev :

$$\begin{gathered} z^2+4z+1=0 \\ {\left(z+2\right)}^2-1+4i=0 \\ {W}^2=1-4i \\ \left(a+bi\right)= 1-4i \\ {a}^2-b^2+2abi=1-4i \\ \left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=1\\ 2ab=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

 

Vad har jag gjort för fel? Nu när jag ska ta fram en hjälpekvation så får jag:

$$\begin{gathered} \left|W^2\right|=\left|a-4i\right| \\ \left|W^2\right|={\left|W\right|}^2= {\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=a^2+b^2 \end{gathered}$$

$(z+2){ }^2=z^2+4z+4$

Jag rättade till det nu och får: $$\begin{gathered} {\left(z+2\right)}^2-3+4i=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=3\\ 2ab =4\end{array}\right. \\ samt en hjälp ekvation som jag får till a^2+b^2=3-4i \end{gathered}$$

Men jag fattar inte hur jag ska gå vidare nu...

1PLUS2 skrev :

Jag rättade till det nu och får: $$\begin{gathered} {\left(z+2\right)}^2-3+4i=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=3\\ 2ab =4\end{array}\right. \\ samt en hjälp ekvation som jag får till a^2+b^2=3-4i \end{gathered}$$

 

Men jag fattar inte hur jag ska gå vidare nu...

Men var får du 4i ifrån?

EDIT - korrigerade teckenfel

Eftersom ${\left(z+2\right)}^2=z^2+4z+4$ så är ju $z^2+4z+1={\left(z+2\right)}^2-\mathbf{3}$

Inget 4i alltså.

Kontrollfråga: Visst gäller uppgiften endast att lösa ekvationen $z^2+4z+1=0$?

Hej!

Om det verkligen är ekvationen $z^2+4z+1 = 0$ som du ska lösa så kan du skriva den som

    $(z+2)^2 - 3 = 0.$

Konjugatregeln låter dig skriva den som

    $(z+2+\sqrt{3})(z+2-\sqrt{3}) = 0$

vilket ger de två reella rötterna $z = -2-\sqrt{3}$ och $z = -2+\sqrt{3}.$

Albiki

$z^2+4z+1+4i=0$ 

Är uppgiften****** 

1PLUS2 skrev :

$z^2+4z+1+4i=0$ 

Är uppgiften****** 

Jaha, då förstår jag.

Om du vill lösa den genom att ansätta $z=a+bi$ så kan du göra det på en gång utan att krångla med kvadratkomplettering.

Ersätt då $z$ med $a+bi$ direkt i ursprungsekvationen, utveckla kvadraten och förenkla.

Samla ihop realdelen och imaginärdelen för sig. Identifiera termer i VL och HL.

Om du vill lösa den på något annat sätt så går även det bra.

Oavsett vad du väljer: Visa dina ansatser och dina uträkningar så hjälper vi dig att hitta felet.

Någon får gärna visa hur man löser denna ekvation. Jag står bara och stampar, komplexa tal är helt nytt för mig. 

1PLUS2 skrev :

Någon får gärna visa hur man löser denna ekvation. Jag står bara och stampar, komplexa tal är helt nytt för mig. 

OK det finns flera olika sätt att lösa en sån här ekvation.

Ett sätt som är väldigt rättframt är följande brutala metod (säg till om det är något av detta som du inte hänger med på).

Börja med att ansätta $z=a+bi$

Då är $z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2$

Eftersom $i^2=-1$ så får vi alltså att

$z^2=a^2+2abi-b^2$

Nu kan vi sätta in detta i ursprungsekvationen $z^2+4z+1+4i=0$:

$a^2+2abi-b^2+4(a+bi)+1+4i=0$

Multiplicera in fyran i parentesen:

$a^2+2abi-b^2+4a+4bi+1+4i=0$

Samla ihop alla termer "utan" i för sig och alla termer "med" i för sig:parentesen:

$a^2-b^2+4a+1+2abi+4bi+4i=0$

Bryt ut i ur de 4 sista termerna:

$(a^2-b^2+4a+1)+(2ab+4b+4)i=0$

I vänsterledet står nu det komplexa talet $(a^2-b^2+4a+1)+(2ab+4b+4)i$.

I högerledet står nu det komplexa talet $0$.

För att dessa två tal ska vara lika krävs dels att realdelarna är lika, dels att imaginärdelarna är lika.

Det innebär att följande måste gälla:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2+4a+1=0\\ 2ab+4b+4=0\end{array}\right.$

Nu kan du välja att antingen lösa ut a eller b ur en av dessa ekvationer och sedan substituera detta in i den andra ekvationen.

Kommer du vidare nu?