Komplex andragradsekvation

Lös: $(2 + i) z^{2} + (1 - 7 i) z - 5 = 0$

1. Jag vill få $z^{2}$ självt & dividerar med $(2 + i)$ , därefter utvecklar jag och får:

$z^{2} - (1 + 3 i) z - 2 - i = 0$

2. Jag kvadratkompletterar och får:

${(z - \frac{1 + 3 i}{2})}^{2} - {(\frac{1 + 3 i}{2})}^{2} - 2 - i = 0$

3. Jag sätter första operanden lika med w och utvecklar, jag får:

$w^{2} = - \frac{5}{2} i$

4. Jag sätter $w = a + b i$ & ansätter en hjälpekvation som fås: $a^{2} - b^{2} = \frac{5}{2}$ , därefter fås ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} a^{2} + a^{2} = 0 (1) \\ a^{2} - a^{2} = \frac{5}{2} (2) \\ 2 a b = - \frac{5}{2} (3) \end{cases}$ $(1) + (2) : a = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} (2) - (1) : b = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

5. Eftersom (3) har negativt tecken i HL medför det att a & b har olika tecken! Jag får kombinationerna:

$\begin{matrix} w_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} i \\ w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} i \end{matrix}$

6. Rötter får jag nu som:

$z_{1} = w_{1} + \frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 i - \sqrt{5} i}{2} z_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 i + \sqrt{5} i}{2}$

Svaret ska vara: $z_{1} = i z_{2} = 1 + 2 i$

Vet ej vad jag har gjort för fel? Det ända tänkbara är om jag möjligen tänkt fel med att få Z för sig självt i början av uträkningen?...

Kan du kolla på steg 3 igen?

Steg 1 också. i är en lösning till originalekvationen, men inte till den du fått fram i steg 1.

Men det är helt rätt metod.

Hur gör jag för att reducera ursprungsekvationen? Jag vill ju reducera uttrycket så att $z^{2}$ blir för sig självt... Men det känns som att det är där det felar. Kan ni visa hur ni gör i början av detta problem?

Dividera alla termer med (2+i), t ex (1-7i)/(2+i) multiplicera täljare och nämnare med (2-i). Kommer du vidare?

Hej,

Steg 1. Multiplicera ekvationen med konjugatet $2-i$ ; för reell koefficient.

$5z^2-5(1+i3)z-5(2-i)=0\iff z^2-(1+i3)z-(2-i)=0.$

Steg 2. Kvadratkomplettera och inför ny variabel; för en binomisk ekvation.

$z^2-(1+i3)z-(2-i)=(z-0.5(1+i3))^2-0.25(1+i3)^2-(2-i) \implies w^2 = b$

där $w=z-0.5(1+i3)$ och $b=2-i+0.25(1+i3)^2=i0.5$

Steg 3. Polär form med DeMoivre. $w = re^{iv}$ och $b=0.5e^{i\pi/2 + i2\pi n}$ där $n$ heltal ger

$\displaystyle r^2e^{i2v} = 0.5e^{i\pi/2(1+4n)} \iff r=0.5\sqrt{2} \text{ och } v=\pi/4+\pi n$

Steg 4. Två lösningar

$w_1 = 0.5\sqrt{2}e^{i\pi/4}=0.5(1+i)$ och $w_2=0.5\sqrt{2}e^{i5\pi/4}=-0.5(1+i)$

med motsvarande z-värden

$z_1=0.5(1+i)+0.5(1+i3)=1+i2$ och $z_2=-0.5(1+i)+0.5(1+i3)=i.$

Svara

Visa senaste svar