Komplex analys tan(z)

Visa hur du kom dit, annars är det väldigt svårt att säga var det går fel.

Hej Anna,

Utan kravet $0<Re(z)<\pi$ har ekvationen flera lösningar:

    $z=\pi(n+0.5)+i0.5\ln 2,$ där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Jag har använt sin(z) =(e^(iz)-e^(-iz))/(2i) och motsvarande uttryck for cos(z) och satt in tan(z)= 3i vilket är (sinz/cosz)=3i. Efter en rad förenklingar på båda sidor så får jag då z=0,5i(ln2). 

@Albiki: Hur fick du ut pi(n+0,5)?

Jag tror att jag inte hade förstått Re(z) här. Även när jag utgår från ditt uttryck så vet jag inte hur jag skulle tolka Re(z). Om z=x+iy så är Re(z) = x. Ska jag sätta in z = x+iy här?

Om jag bara söker en lösning som uppfyller villkoren, då borde det vara rimligt att tänka att min lösning är den som söker, eller?

Din lösning $z=0+\frac{\ln2}{2}i$ har realdelen 0, så den uppfyller inte villkoret $0<Re z<\pi$.

Ja, just det. Det har du rätt. Det är det jag fastnade igår när jag räknade först. Men vet dock inte hur jag kan hitta alla lösningar när jag kom till z=0,5i(ln2).

Kan du visa steg för steg hur du har gjort, så kan vi se var du har tappat bort realdelen.

Du verkar tappa hela realdelen någonstans. Jag brukar räkns typ såhär.

Nu ser jag vad jag hade räknat fel. Gjorde ett slavfel dessutom fram till steget 4(e^(2iz)) =-2. (Här hade jag gjort slavfel till 2 istället för -2). Ska titta lite på din lösning. De senare stegen hade jag inte alls kunna komma ut med. Återkommer snart med fler frågor om jag inte förstår. 

Det du hade gjort fel var att stoppa in ett komplext tal i ln. Log för komplexa tal ser ut såhär:   log(z) = ln|z|+iarg(z)

Så din lösning funkar också om du byter ut den biten bara.

Aha, nu förstår jag och vet svaret! Tack för lösningen! Har hjälpt så mycket. Jag hade inte gått hela vägen i räkningen.