Komplex analys-parametisering av curva

Din parametrisering går från 1 till -1 under reella axeln och inte från -1 till 1 över reella axeln, som i figuren.

Förstår tyvärr fortfarande inte med detta svar. Kan du förklara lite mer? Hur får man ut mellan 1 och 2 då?

anna_q skrev:

Förstår tyvärr fortfarande inte med detta svar. Kan du förklara lite mer? Hur får man ut mellan 1 och 2 då?

Sätt in t = 1 i formeln. Var hamnar du då i det komplexa talplanet? -1, eller hur? Sätt in t = 1,5 och t = 2 i formeln. Var hamnar du då i det komplexa talplanet? 

Gör samma sak med din parametrisering och se skillnaden.

Vilken formel menar du att jag ska sätta in, z(t) = e^(it)? Jag satte in t = 0 och t = 1 samt t=2 i min parametisering och jag ser att det är som du sa att min går från 1 till -1, men med t mellan 1 och 2 går det från -1 och 1. Men det är med facit i handen som jag kan se mitt svar är fel. Men hur kommer jag till rätt svar från början? Jag har gjort så: 

z(theta) = e^(-i theta), 0<= theta <= pi. Låt t=theta/pi, då fick jag theta=pi*t, sätt jag in t i båda så fick jag z(t) och 0<= t <=1. Men det kanske är fel sätt redan från början?

Har lite dålig förkunskap egentligen till den kursen jag läser. Men försöker ändå täcka så många hål i förkunskaper som möjlighet nu. Hoppas att inte mina frågor är för dumma. :-/

anna_q skrev:

Vilken formel menar du att jag ska sätta in, z(t) = e^(it)? Jag satte in t = 0 och t = 1 samt t=2 i min parametisering och jag ser att det är som du sa att min går från 1 till -1, men med t mellan 1 och 2 går det från -1 och 1. Men det är med facit i handen som jag kan se mitt svar är fel. Men hur kommer jag till rätt svar från början? Jag har gjort så: 

z(theta) = e^(-i theta), 0<= theta <= pi. Låt t=theta/pi, då fick jag theta=pi*t, sätt jag in t i båda så fick jag z(t) och 0<= t <=1. Men det kanske är fel sätt redan från början?

Du har angett formeln som $z\left(t\right)=e^{-i\pi t}$.

Vi har med t i intervallet [1, 2]: z(1) = -1, z(1,5) = i och z(2) = 1, vilket stämmer med den kurva som efterfrågas.

Men om vi väljer din med parametrisering med t i intervallet [0, 1] så får vi

z(0) = 1, z(1/2) = -i och z(1) = -1, vilket blir fel på två sätt: vi går i fel riktning, från 1 till -1, istället för från -1 till 1, och i fel halvplan, under reella axeln istället för över som det skall vara enligt figuren.

Klart?

anna_q skrev:

Vilken formel menar du att jag ska sätta in, z(t) = e^(it)? Jag satte in t = 0 och t = 1 samt t=2 i min parametisering och jag ser att det är som du sa att min går från 1 till -1, men med t mellan 1 och 2 går det från -1 och 1. Men det är med facit i handen som jag kan se mitt svar är fel. Men hur kommer jag till rätt svar från början? Jag har gjort så: 

z(theta) = e^(-i theta), 0<= theta <= pi. Låt t=theta/pi, då fick jag theta=pi*t, sätt jag in t i båda så fick jag z(t) och 0<= t <=1. Men det kanske är fel sätt redan från början?

Du kanske kunde gjort ansatsen

$z\left(t\right)=e^{i(\pi -\omega (t-t_0\left)\right)}$ för den halvcirkelformade delen och valt lämpliga värden på $\omega$ och t₀ beroende på hur du parametriserat den rätlinjiga delen av kurvan och var du vill att slutvärdet på t skall ligga.

PATENTERAMERA skrev:

anna_q skrev:

Vilken formel menar du att jag ska sätta in, z(t) = e^(it)? Jag satte in t = 0 och t = 1 samt t=2 i min parametisering och jag ser att det är som du sa att min går från 1 till -1, men med t mellan 1 och 2 går det från -1 och 1. Men det är med facit i handen som jag kan se mitt svar är fel. Men hur kommer jag till rätt svar från början? Jag har gjort så: 

z(theta) = e^(-i theta), 0<= theta <= pi. Låt t=theta/pi, då fick jag theta=pi*t, sätt jag in t i båda så fick jag z(t) och 0<= t <=1. Men det kanske är fel sätt redan från början?

Du kanske kunde gjort ansatsen

$z\left(t\right)=e^{i(\pi -\omega (t-t_0\left)\right)}$ för den halvcirkelformade delen och valt lämpliga värden på $\omega$ och t₀ beroende på hur du parametriserat den rätlinjiga delen av kurvan och var du vill att slutvärdet på t skall ligga.

Tusen tack för din förklaring! Jag ska plugga på lite mer om parametisering av en kurva och jag har skrivit ner ditt tips för ansatsen för att återkomma och titta på det igen! Tack så mycket!!