komplex analys, integration

Det sedvanliga tricket är att ta en komplex integral av en kurva $C$ som utgörs av en halvcirkel i det positiva planet med radie $R$, $C_R$, och ett linjestycke längs den reella axeln:

Då kan vi ju ställa upp relationen:

$\displaystyle\oint_C f\left(z\right)\ dz=\int_{C_R}f\left(z\right)\ dz+\int_{-R}^R f\left(z\right)\ dz$

När man låter $R\to\infty$ kommer man att få den sökta integralen i högerled. Det gäller då att beräkna integralen i vänsterled vilket görs med residysatsen (det går även med Cauchys integralformel och integralsats, men det är lite mer mödosamt). Man kan även med ML-uppskattning visa att integralen längs $C_R$ går mot noll när $R\to\infty$ vilket gör det möjligt att bestämma integralen vi söker.

så får vi fram integralen i högerled genom följande formel som väl är samma som den du skrev, i så fall ska man summera samtliga rester och multiplicera med 2pii, men hur får vi fram resterna?

${\int }_{-R}^{R}f\left(z\right)dz+{\int }_{{\tau }_R}f\left(z\right)dz = 2\pi i\left(res\left\{f\left(z\right)\right\}\right)$

hur visar man att integralen går mot noll då $R\to \infty$

Eftersom kurvan $C$ kommer innesluta hela positiva halvplanet när $R\to\infty$ kommer vi att innesluta diskontinuiteterna i $z=(1+\sqrt{3}i)/2$ och $z=(-1+\sqrt{3}i)/2$. Dessa är alltså punkterna vi behöver beräkna residyerna för. Enligt residysatsen har vi ju nämligen:

$\displaystyle\oint f\left(z\right)\ dz=2\pi i\left(\text{Res}\left(f;\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)+\text{Res}\left(f;\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\right)$

Eftersom båda dessa residyer är enkelpoler går de att beräkna genom:

$\text{Res}\left(f;z_0\right)=\lim_{z\to z_0}\left(z-z_0\right)\cdot f\left(z_0\right)$

För att visa att integralen längs $C_R$ (cirkelbågen) går mot noll när $R\to\infty$ gör man en ML-uppskattning:

$\displaystyle|\int_{C_R}f\left(z\right)\ dz|\leq\underset{C_R}{\text{max}}\left|f\left(z\right)\right|\cdot \pi R$

Sedan gäller det att hitta en övre begränsning på det maximala värdet för $|f(z)|$. Detta tycker jag görs enklast enligt följande:

$\left|f\left(z\right)\right|=|\dfrac{1}{z^4+z^2+1}|\leq|\dfrac{1}{z^4}|=\dfrac{1}{|z|^4}=\dfrac{1}{R^4}$

eftersom $|z|=R$ för alla punkter på kurvan $C_R$. Det blir sedan tydligt att detta absolutbelopp (och därmed även maxvärdet och själva kurvintegralen) går mot noll när $R\to\infty$, vilket visar att integralen går mot noll.