Komplex analys: Bevis

Hej,

Suppose p is a polynomial with real coefficients. Prove that

(a) $p (z) = p (z)$ .

(b) $p (z) = 0 \Leftrightarrow p (z) = 0$ .

Uppgift (a) tror jag att agg har löst.

$p (z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + . . . + a_{n} z^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k} \Rightarrow p (z) = {\sum a_{k} z^{k}}_{k = 0}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k} = {\sum a_{k} z^{k} = p (z)}_{k = 0}^{n}$

Detta tror jag duger som bevis med reservationen att det behöver tilläggas lite kommentarer om varför man får göra vissa omskrivningar. Någon som inte håller med?

När det gäller (b) så vet jag tyvärr inte riktigt vart jag ska börja. Tack på föhand.

Hej Max,

För att lösa b behöver du bara använda a.

Om $p(z)=0$ så är $\overline{p(z)}=0$ och då säger a att $p(\bar{z})=0.$

Om $p(\bar{z})=0$ så ...

Hej Albiki,

Tack då förstår jag. Dock har jag en till fråga angående ett annat bevis där de säger följande

$z \in C [0, 2] \Leftrightarrow |z| = 2$

Jag fårstår inte hur de kan dra den slutsatsen. Kan du hjälpa mig även här?

Hej,

Du får ge litet mer sammanhang. Vad betecknar C[0,2]?

Hej,

Det ska vara en cirkel. Hjälper det?

Max123 skrev:
Hej,
Det ska vara en cirkel. Hjälper det?

Nej, det räcker inte.

Okej,

Frågan ser ut såhär:

Use the previous exercise to show that

$|\frac{1}{z^{2} - 1}| \leq \frac{1}{3}$

for every z on the circle $C [0, 2] .$

Den tidigare uppgiften handlar om att visa den omvända triangelolikheten vilken används även i denna uupggiften men först när man har kommit fram till att $|z| = 2$ vilket jag inte lyckas med.

Vet du själv vad C[0,2] betecknar? Är det en cirkel med centrum i 0 och med radie 2? Vad indikerar hakparenteserna? Är [0,2] ett intervall för en parameter som parametriserar cirkeln, vars centrum och radie är ospecificerad?

En tolkning av uppgiftstexten är att visa att om det komplexa talet $z$ är sådant att $|z|=2$ så gäller det att

$\left|\frac{1}{z^2-1}\right|\leq 1/3.$

Om du kan visa att $|z^2-1|\geq 3$ så blir det klart, om jag förstått problemet rätt.

Hej,

Nej jag vet inte vad $C [0, 2]$ betecknar. Men om vi antar att det betecknar en cirkel med centrum i 0 och med en radie 2 så stämmer det att $|z| = 2$ vilket löser uppgiften. Antar att det måste vara det dom menar eller?

Svara

Visa senaste svar